Перегляд вихідного коду сторінки Адитивна енергія

'''Адити́вна ене́ргія'''&nbsp;— чисельна характеристика підмножини [[Група (математика)|групи]], що ілюструє структурованість множини відносно групової операції. Термін увели [[Теренс Тао]] та {{Нп|Ву Ха Ван|Ван Ву|ru}}<ref>{{Cite web|url=https://mathoverflow.net/questions/223954/where-did-the-term-additive-energy-originate|title=co.combinatorics - Where did the term "additive energy" originate? - MathOverflow<!-- Заголовок добавлен ботом -->|accessdate=2019-08-23|archivedate=2019-08-23|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190823060446/https://mathoverflow.net/questions/223954/where-did-the-term-additive-energy-originate|deadurl=no}}</ref>.

== Визначення ==
Нехай <math>(G, +)</math>&nbsp;— група.

Адитивна енергія множин <math>A \subset G</math> і <math>B \subset G</math> позначається як <math>E_{+}(A, B)</math> і дорівнює<ref name="Garaev">[http://mathnet.ru/rm9367 М.&nbsp;З.&nbsp;Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4 (394)], стор. 25 (за нумерацією на сторінках)</ref> кількості розв'язків такого рівняння:

: <math>a_1+b_1=a_2+b_2 (a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B)</math>

{{Якір|Мультиплікативна енергія}}Аналогічно можна визначити '''мультиплікати́вну ене́ргію''' (наприклад, у [[Кільце (алгебра)|кільці]]) як кількість <math>E_{\times}(A, B)</math> розв'язків рівняння:

: <math>a_1 b_1 = a_2 b_2 (a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B)</math>

== Екстремальні значення ==
Найменшого значення <math>E_{+}(A,B)</math> досягає, коли всі суми <math>a+b\ (a \in A, b \in B)</math> різні (оскільки тоді рівність виконується тільки за <math>\{a_1,b_1\} = \{a_2,b_2\}</math>)&nbsp;— наприклад, коли <math>A=B</math> і <math>A</math>&nbsp;— множина різних твірних групи <math>G</math> з якоїсь мінімальної [[Породжувальна множина групи|породжувальної множини]]. Тоді <math>E(A,A) = \frac{|A|^2 + |A|}{2}</math>.

Найбільшого значення <math>E_+(A,B)</math> досягає, коли <math>A=B</math> і <math>A</math> є [[Підгрупа|підгрупою]] <math>G</math>. У цьому випадку для будь-якого <math>x \in A</math> число розв'язків рівняння <math>a+b=x\ (a,b \in A)</math> дорівнює <math>|A|</math>, так що <math>E_+(A,A) = |A|^3</math>.

Відповідно, проміжні величини [[Асимптотична рівність|порядку зростання]] <math>E_+(A,A)</math> між <math>|A|^2</math> і <math>|A|^3</math> можна розглядати як більший чи менший показник близькості структури <math>A</math> до структури підгрупи. Для деяких груп <math>G</math> визначені обмеження на адитиву енергію дозволяють доводити [[Структурні теореми (адитивна комбінаторика)|структурні теореми]] про існування досить великих підгруп <math>G</math> всередині <math>A</math> (або якоїсь похідної від неї множини) і про вкладаність <math>A</math> (або якоїсь похідної від неї множини) в досить маленькі підгрупи <math>G</math><ref>[https://www.youtube.com/watch?v=IR08pCnxFTA Лекции лаборатории Чебышёва, курс «Аддитивная комбинаторика» (Фёдор Петров), лекция 6], з моменту 1:11:30</ref>. Обмеження на <math>G</math> для цих теорем пов'язані з показником [[Скрут (алгебра)|скруту]] групи <math>G</math> та окремих її твірних. Однак для циклічних груп та груп без скруту існують аналогічні теореми, які розглядають замість підгруп [[Узагальнена арифметична прогресія|узагальнені арифметичні прогресії]] .

: <math>E_{+}(A, B) = E_{+}(A, -B) = E_{-}(A,B)</math>

: <math>E_{+}(A, B) |A+B| \ge |A|^2 |B|^2</math>, де <math>A+B = \left\lbrace{a+b : a \in A, b \in B}\right\rbrace</math><ref name="Garaev"/>
{{Hidden|title=Доведення|headerstyle=background:#ccccff|content=Позначимо <math>\lambda(x) = \# \left\lbrace{(a,b) \in A \times B : a+b=x}\right\rbrace</math>.

Тоді <math>E_{+}(A,B) = \sum \limits_{x \in A+B} {\lambda(x)^2}</math> і, за [[Нерівність Коші — Буняковського|нерівністю Коші-Буняковського]],

<math>E_{+}(A,B) \ge \frac{1}{|A+B|} \sum \left({ \sum \limits_{x \in A+B} {\lambda(x)} }\right)^2 = \frac{1}{|A+B|} (|A| |B|)^2</math>}}

Для [[Модульна арифметика|кільця лишків]] за [[Просте число|простим]] модулем <math>G = {\mathbb F}_p</math> адитивну енергію можна виразити через [[Суми Вейля|тригонометричні суми]]. Позначимо <math>e_p (k) = e^{2 \pi \frac{k}{p} i}</math>. Тоді

: <math>E_{+}(A,B) = \frac{1}{p} \sum \limits_{t = 0}^{p-1} { {\Bigg \vert {\sum \limits_{a \in A} {e_p(ta)}} \Bigg \vert}^2 {\Bigg \vert {\sum \limits_{b \in B} {e_p(tb)}} \Bigg \vert}^2 }</math>
{{Hidden|title=Доведення|headerstyle=background:#ccccff|content=Скористаємось [[Дужка Айверсона|нотацією Айверсона]] та [[Формула Ейлера#Застосування в теорії чисел|індикаторною тотожністю]].

: <math>E_{+}(A,B) = \sum \limits_{a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B} {[a_1+b_1=a_2+b_2]} =
\sum \limits_{a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B} {\frac{1}{p} \sum \limits_{t=0}^{p-1} {e_p (t(a_1+b_1-a_2-b_2))}} = 
\frac{1}{p} \sum \limits_{t=0}^{p-1} {\sum \limits_{a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B} {e_p (t(a_1+b_1-a_2-b_2))}}</math>
: <math>= \frac{1}{p} \sum \limits_{t=0}^{p-1} \left({ \sum \limits_{a \in A} {e_p (ta)} }\right) \overline {\left({ \sum \limits_{a \in A} {e_p (ta)} }\right)} \left({ \sum \limits_{b \in B} {e_p (tb)} }\right) \overline{\left({ \sum \limits_{b \in B} {e_p (tb)} }\right)} =
\frac{1}{p} \sum \limits_{t = 0}^{p-1} { {\Bigg \vert {\sum \limits_{a \in A} {e_p(ta)}} \Bigg \vert}^2 {\Bigg \vert {\sum \limits_{b \in B} {e_p(tb)}} \Bigg \vert}^2 }</math>

Зауважимо, що вираз через тригонометричні суми справедливий тільки для адитивної енергії, але не для мультиплікативної, оскільки явно використовує властивості додавання в <math>{\mathbb F}_p</math>.}}

== Застосування ==
Адитивну та мультиплікативну енергії використовують у [[Адитивна комбінаторика|адитивній]] та [[Арифметична комбінаторика|арифметичній комбінаториці]] для аналізу комбінаторних сум та добутків множин <math>A+B = \left\lbrace{a+b:A+B}\right\rbrace</math>, зокрема, для доведення [[Теорема сум-добутків|теореми сум-добутків]].

== Старші енергії ==
Існують два основних узагальнення рівняння, яке визначає адитивну енергію,&nbsp;— за кількістю доданків та за кількістю рівностей:

: <math>E_k(A) = \#\left\lbrace{a_1-b_1 = a_2-b_2 = \dots = a_k-b_k\ :\ a_i, b_i \in A}\right\rbrace = \sum \limits_{s} {|A \cap (A + s)|^k}</math>

: <math>T_k(A) = \#\left\lbrace{\sum \limits_{i=1}^{k} {x_i} = \sum \limits_{i=1}^{k} {y_i}\ :\ x_i, y_i \in A}\right\rbrace</math>

Їх називають старшими енергіями{{Sfn|Шкредов|2013}} й іноді можна отримати їх оцінки, не отримуючи оцінок звичайної адитивної енергії{{Sfn|Штейников|2015|c=607, теорема 4}}<ref>{{Arxiv|1808.08465v4}} Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, «Stronger sum-product inequalities for small sets», с. 5, наслідок 7</ref>. Разом з тим, [[нерівність Гельдера]] дозволяє (із значним погіршенням) оцінювати звичайну енергію через старші.

Для параметра <math>k</math> в <math>E_k</math> іноді розглядаються і дійсні, а не лише цілі числа (просто підстановкою в останній вираз){{Sfn|Шкредов|2013|с=59, теорема 6.3}}.

== Див. також ==
* [[Теорема сум-добутків]]
* [[Структурна теорема Чанг]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Стаття|author=Ю. Н. Штейников|title=Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и некоторые их приложения|url=http://mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=10629&option_lang=rus|language=ru|видання=Математические заметки|рік=2015|том=98|issue=4|pages=606-625|ref=Штейников}}
* {{Стаття|author=И. Д. Шкредов|title=Несколько новых результатов о старших энергиях|url=http://mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mmo&paperid=540&option_lang=rus|language=en|видання=Труды Московского математического общества|рік=2013|том=74|issue=1|pages=35-73|ref=Шкредов}}

[[Категорія:Теорія груп]]
[[Категорія:Арифметична комбінаторика]]