Перегляд вихідного коду сторінки Автоковаріація

{{Кореляція та коваріація}}
У [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] та [[Статистика|статистиці]] для заданого [[Стохастичний процес|стохастичного процесу]] '''автоковаріа́ція''' ({{lang-en|autocovariance}})&nbsp;— це функція, яка дає [[Коваріація|коваріацію]] цього процесу із самим собою в парах моментів часу. Автоковаріація процесу тісно пов'язана з його [[Автокореляція|автокореляцією]].

== Автоковаріація стохастичних процесів ==

=== Визначення ===

За звичайного позначення <math>\operatorname{E}</math> для оператора [[Математичне сподівання|математичного сподівання]], якщо стохастичний процес <math>\left\{X_t\right\}</math> має функцію [[Середнє значення|середнього значення]] <math>\mu_t = \operatorname{E}[X_t]</math>, то автоковаріацію визначають як<ref name="HweiHsu">{{cite book |first=Hwei |last=Hsu |year=1997 |title=Probability, random variables, and random processes |publisher=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-030644-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00hsuh }} {{ref-en}}</ref>{{rp|с. 162}}

{{Equation box 1
|indent = :
|title=
|equation = {{NumBlk||<math>\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2) = \operatorname{cov}\left[X_{t_1}, X_{t_2}\right] = \operatorname{E}[(X_{t_1} - \mu_{t_1})(X_{t_2} - \mu_{t_2})] = \operatorname{E}[X_{t_1} X_{t_2}] - \mu_{t_1} \mu_{t_2}</math>|{{EquationRef|1}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

де <math>t_1</math> та <math>t_2</math>&nbsp;— два моменти часу.

=== Визначення для слабко стаціонарного процесу ===

Якщо <math>\left\{X_t\right\}</math>&nbsp;— [[Слабка стаціонарність|слабко стаціонарний процес]], то має місце наступне:<ref name="HweiHsu"/>{{rp|с. 163}}

: <math>\mu_{t_1} = \mu_{t_2} \triangleq \mu</math> для всіх <math>t_1,t_2</math>

і

: <math>\operatorname{E}[|X_t|^2] < \infty</math> для всіх <math>t</math>

і

: <math>\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2) = \operatorname{K}_{XX}(t_2 - t_1,0) \triangleq \operatorname{K}_{XX}(t_2 - t_1) = \operatorname{K}_{XX}(\tau),</math>

де <math>\tau = t_2 - t_1</math>&nbsp;— [[Запізнення|запізнювання]] в часі ({{lang-en|time lag}}), або кількість часу, на яку було зміщено сигнал.

Таким чином, автоковаріаційна функція слабко стаціонарного процесу задається як<ref name="Lapidoth">{{cite book |first=Amos |last=Lapidoth |year=2009 |title=A Foundation in Digital Communication |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-19395-5}} {{ref-en}}</ref>{{rp|с. 517}}

{{Equation box 1
|indent = :
|title=
|equation = {{NumBlk||<math>\operatorname{K}_{XX}(\tau) = \operatorname{E}[(X_t - \mu_t)(X_{t- \tau} - \mu_{t- \tau})] = \operatorname{E}[X_t X_{t-\tau}] - \mu_t \mu_{t-\tau}</math>|{{EquationRef|2}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

що рівнозначне

: <math>\operatorname{K}_{XX}(\tau) = \operatorname{E}[(X_{t+ \tau} - \mu_{t +\tau})(X_{t} - \mu_{t})] = \operatorname{E}[X_{t+\tau} X_t] - \mu^2 </math>.

=== Унормовування ===

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та [[Аналіз часових рядів|аналізі часових рядів]]) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу [[коефіцієнт кореляції Пірсона]]. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення нормованої автокореляції стохастичного процесу:

: <math>\rho_{XX}(t_1,t_2) = \frac{\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2)}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}} = \frac{\operatorname{E}[(X_{t_1} - \mu_{t_1})(X_{t_2} - \mu_{t_2})]}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}}</math>.

Якщо функція <math>\rho_{XX}</math> однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні <math>[-1,1]</math>, причому 1 вказує на ідеальну [[Кореляція|кореляцію]], а &minus;1&nbsp;— на ідеальну [[Антикореляція|антикореляцію]].

Для слабко стаціонарного процесу визначення таке:

: <math>\rho_{XX}(\tau) = \frac{\operatorname{K}_{XX}(\tau)}{\sigma^2} = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu)(X_{t+\tau} - \mu)]}{\sigma^2}</math>.

де

: <math>\operatorname{K}_{XX}(0) = \sigma^2</math>.

=== Властивості ===

==== Властивість симетрії ====

: <math>\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2) = \overline{\operatorname{K}_{XX}(t_2,t_1)}</math><ref name="KunIlPark">Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3 {{ref-en}}</ref>{{rp|с.169}}

відповідно, для слабко стаціонарного процесу:

: <math>\operatorname{K}_{XX}(\tau) = \overline{\operatorname{K}_{XX}(-\tau)}</math><ref name="KunIlPark"/>{{rp|с.173}}

==== Лінійні фільтри ====

Автоковаріацією процесу з лінійним фільтром <math>\left\{Y_t\right\}</math>

: <math>Y_t = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k X_{t+k}\,</math>

є

: <math>K_{YY}(\tau) = \sum_{k,l=-\infty}^\infty a_k a_l K_{XX}(\tau+k-l).\,</math>

== Обчислення турбулентної дифузійності ==

Автоковаріацію можливо використовувати для обчислення {{нп|Турбулентна дифузійність|турбулентної дифузійності||Turbulent diffusivity}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Turbulent diffusivity]] (→ [[:en:Turbulence#Diffusivity]]) перекладена як [[Турбулентність (механіка)]], хоча хотіли [[Турбулентна дифузійність]] (SashkoR0B0T)-->.<ref>{{Cite journal|last=Taylor|first=G. I.|date=1922-01-01|title=Diffusion by Continuous Movements|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|language=en|volume=s2-20|issue=1|pages=196–212|doi=10.1112/plms/s2-20.1.196|issn=1460-244X|url=https://zenodo.org/record/1433523/files/article.pdf|accessdate=21 листопада 2021|archive-date=21 листопада 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211121115015/https://zenodo.org/record/1433523/files/article.pdf}} {{ref-en}}</ref> Турбулентність у потоці може спричинювати флуктуації швидкості в просторі й часі. Таким чином, ми можемо визначати турбулентність за допомогою статистики цих флуктуацій{{джерело|дата=листопад 2021}}.

Для визначання флуктуацій швидкості <math>u'(x,t)</math> використовують {{нп|розклад Рейнольдса|||Reynolds decomposition}} (припустімо, що ми зараз працюємо з одновимірною задачею, й <math>U(x,t)</math>&nbsp;— швидкість уздовж напрямку <math>x</math>):

: <math>U(x,t) = \langle U(x,t) \rangle + u'(x,t),</math>

де <math>U(x,t)</math>&nbsp;— істинна швидкість, а <math>\langle U(x,t) \rangle</math>&nbsp;— {{нп|розклад Рейнольдса|математичне сподівання швидкості||Reynolds decomposition}}. Якщо ми оберемо правильне <math>\langle U(x,t) \rangle</math>, то всі стохастичні складові турбулентної швидкості буде включено до <math>u'(x,t)</math>. Щоби визначити <math>\langle U(x,t) \rangle</math>, необхідний набір вимірювань швидкості, зібраних із точок у просторі, моментів часу, або повторюваних експериментів.

Якщо ми припускаємо, що турбулентний потік <math>\langle u'c' \rangle</math> (<math>c' = c - \langle c \rangle</math>, а ''c''&nbsp;— член концентрації) може бути викликано випадковим блуканням, то для вираження члену турбулентного потоку ми можемо використовувати [[Закони Фіка|закони дифузії Фіка]]:

: <math>J_{\text{turbulence}_x} = \langle u'c' \rangle \approx D_{T_x} \frac{\partial \langle c \rangle}{\partial x}.</math>

Автоковаріація швидкості визначається як

: <math>K_{XX} \equiv \langle u'(t_0) u'(t_0 + \tau)\rangle</math> або <math>K_{XX} \equiv \langle u'(x_0) u'(x_0 + r)\rangle,</math>

де <math>\tau</math>&nbsp;— часове, а <math>r</math>&nbsp;— просторове відставання.

Турбулентну дифузійність <math>D_{T_x}</math> можливо обчислювати за допомогою наступних 3 методів:

{{Ordered list
|Якщо маємо дані про швидкість уздовж ''[[Турбулентна дифузія#Підхід Лагранжа|лагранжевої траєкторії]]'':
:<math>D_{T_x} = \int_\tau^\infty u'(t_0) u'(t_0 + \tau) \,d\tau.</math>
|Якщо маємо дані про швидкість в одному нерухомому ([[Турбулентна дифузія#Підхід Ейлера|ейлеровому]]) положенні{{джерело|дата=листопад 2021}}:
: <math>D_{T_x} \approx [0.3 \pm 0.1] \left[\frac{\langle u'u' \rangle + \langle u \rangle^2}{\langle u'u' \rangle}\right] \int_\tau^\infty u'(t_0) u'(t_0 + \tau) \,d\tau.</math>
|Якщо маємо інформацію про швидкість у двох нерухомих (ейлерових) положеннях{{джерело|дата=листопад 2021}}:
: <math>D_{T_x} \approx [0.4 \pm 0.1] \left[\frac{1}{\langle u'u' \rangle}\right] \int_r^\infty u'(x_0) u'(x_0 + r) \,dr,</math>
де <math>r</math>&nbsp;— відстань, розділена цими двома нерухомими положеннями.
}}

== Автоковаріація випадкових векторів ==
{{Main|{{нп|Автоковаріаційна матриця|||Auto-covariance matrix}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Auto-covariance matrix]] (→ [[:en:Covariance matrix]]) перекладена як [[Коваріаційна матриця]], хоча хотіли [[Автоковаріаційна матриця]] (SashkoR0B0T)-->}}

== Див. також ==
* [[Авторегресійний процес]]
* [[Кореляція]]
* [[Взаємна коваріація]]
* [[Взаємна кореляція]]
* [[Фільтр Калмана#Оцінювання коваріацій шумів Qk та Rk|Оцінювання коваріацій шумів]] (як приклад застосування)

== Примітки ==
{{Примітки}} 

== Література ==
* {{cite book |first=P. G. |last=Hoel |title=Mathematical Statistics |publisher=Wiley |location=New York |year=1984 |edition=Fifth |isbn=978-0-471-89045-4 }} {{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20060428122150/http://w3eos.whoi.edu/12.747/notes/lect06/l06s02.html Конспект лекції з автоковаріації ВГОІ] {{ref-en}}

[[Категорія:Аналіз Фур'є]]
[[Категорія:Автокореляція]]