Перегляд вихідного коду сторінки Інфімум та супремум

[[Файл:Supremum illustration.svg|thumb|upright=1.2|Підмножина <math>A</math> (сині) дійсних чисел, множина верхніх меж <math>A</math> (червоні), і супремум <math>A</math> (червоний ромб).]]
'''Інфімум''' та '''супремум''' — в [[Теорія порядку|теорії порядку]] це [[Двоїстість (теорія порядку)|двоїсті]] поняття, що узагальнюють поняття мінімума та максимума для [[підмножина|підмножини]] в [[частково впорядкована множина|частково впорядкованій множині]].

:Для [[підмножина|підмножини]] <math>S</math> [[частково впорядкована множина|частково впорядкованої множини]] <math>(P, \leq)</math> :

'''І́нфімум''' (''точна нижня межа'', ''нижня грань'') ({{lang-la|infimum}} — найнижчий)  — це найбільша [[нижня межа]] S.
Позначається <math>\inf S</math>.

'''Супремум''' (''точна верхня межа'', ''верхня грань'') ({{lang-la|supremum}} — найвищий) — це найменша [[верхня межа]] S.
Позначається <math>\sup S</math>.

== Пов'язані визначення ==
{{main|Верхня та нижня межа}}
Для [[підмножина|підмножини]] <math>X</math> [[частково впорядкована множина|частково впорядкованої множини]] <math>(P, \leq)</math> :

'''Міноранта''' чи '''нижня межа''' <math>X</math> — елемент <math>a \in P</math>, такий що <math>\forall x\in X: \quad a\leqslant x</math>.

'''Мажоранта''' чи '''верхня межа''' <math>X</math> — елемент <math>b \in P</math>, такий що <math>\forall x\in X: \quad x\leqslant b</math>.

== Визначення ==
'''Верхньою гранню''', '''точною верхньою межею''' чи '''[[супремум]]ом''' ({{lang-la|supremum}} — найвищий) підмножини <math>X</math>, називається [[найменший елемент]] <math>P</math>, який є мажорантою <math>X</math>.

Більш формально:
:<math>S_X=\{b\in P\mid\forall x\in X\!:x\leqslant b\}\!</math> — множина мажорант <math>X</math>, тобто елементів <math>P</math>, рівних чи більших за всі елементи <math>X</math>
:<math>s=\sup(X) \iff s \in S_X \land \forall b \in S_X\! : s \leqslant b.</math>

'''Нижньою гранню''', '''точною нижньою межею''' чи '''[[інфімум]]ом''' ({{lang-la|infimum}} — найнижчий) підмножини <math>X</math>, називається [[найбільший елемент]] <math>P</math>, який є мінорантою <math>X</math>.

=== Властивості ===
{{main|Найбільший та найменший елемент|Максимальні та мінімальні елементи}}
* Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
* Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума. 
* Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині. 

* Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
* І навпаки, для підмножини <math>X</math>:
** якщо <math>i=\inf(X) \in X</math>, то <math>i</math> є найменшим елементом та мінімумом <math>X</math>, позначається <math>i=\min_{x \in X} x</math>.
** якщо <math>s=\sup(X) \in X</math>, то <math>s</math> є найбільшим елементом та максимумом <math>X</math>, позначається <math>s=\max_{x \in X} x</math>.

== Арифметичні операції ==
...

== Інфімум та супремум для дійсних чисел ==
* [[Аксіома Дедекінда]]

== Див. також ==
* [[Двоїстість (теорія порядку)]]
* [[Істотний інфімум та істотний супремум]]
* [[Верхня та нижня межа]]
* [[Найбільший та найменший елемент]]
* [[Максимальні та мінімальні елементи]]
* [[Поєднання та зустріч]]

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Биркгоф.Теория решёток}}
* {{Бурбакі.Загальна топологія.г1-2}}

{{Теорія порядку|state=expanded}}

[[Категорія:Теорія порядку]]