Перегляд вихідного коду сторінки Інтегральний синус

[[Файл:Sine cosine integral.svg|right|thumb|300px|Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]]]
'''Інтегральний синус'''&nbsp;— [[функція (математика)|функція]], визначена [[формула|формулою]]<ref>Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1968. — С. 625.{{ref-ru}}</ref>:
: <math> \operatorname{Si} x = \int\limits_0^x \frac{\sin\, t}{t} dt </math>

Визначається також функція:
<math>
\operatorname{si} x = - \int\limits_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt =\operatorname{Si} x -\frac{\pi}{2}
</math>

Часткові значення:
<math> \operatorname{Si} 0 = 0,\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \operatorname{Si} x = \frac{\pi}{2},\quad \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \operatorname{si} x = 0 </math>.

Інтегральний синус було введено {{нп|Лоренцо Маскероні||ru|Маскерони, Лоренцо}} в 1790 році.

== Властивості ==
* Інтегральний синус — [[непарна функція]]:
:<math>\operatorname{Si}(-x) = -\,\operatorname{Si} x</math>
* <math>\operatorname{si} x + \operatorname{si}(-x) = - \pi</math>
* Інтегральний синус пов'язаний з [[інтегральна показникова функція|інтегральною показниковою функцією]] співвідношенням<ref>Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2 // М.: Наука, 1974. — С. 149.{{ref-ru}}</ref>:
:<math>
\operatorname{si} x = \frac{1}{2i} \left( \operatorname{Ei}(ix) - \operatorname{Ei}(-ix) \right)
</math>
* Для малих ''x''  <math>\operatorname{Si} x \approx x</math>
* З деякими іншими функціями інтегральний синус пов'язаний співвідношеннями: 
:<math>\int\limits_0^\infty e^{pt}\operatorname{si}(qt) dt = - \frac{1}{p} \operatorname{arctg} \frac{p}{q}, \quad \int\limits_0^\infty \operatorname{si}^2 t\, dt = \frac{\pi}{2},</math>
:<math>\int\limits_0^\infty \sin t \, \operatorname{si} t \, dt = - \frac{\pi}{4}, \quad \int\limits_0^\infty  \operatorname{Ci} t \operatorname{si} t \, dt = - \ln 2.</math>
* Інтегральний синус задовольняє [[лінійне диференційне рівняння]] третього порядку
:<math>xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x) = 0.</math>

== Розклад у ряд ==

Інтегральний синус можна розкласти в [[ряд (математика)|ряд]]:
: <math>\operatorname{Si}\,x = x - \frac {x^3}{3 \cdot 3!} + \frac {x^5}{5 \cdot 5!} - \frac {x^7}{7 \cdot 7!} + \cdots =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)! (2n+1)} x^{2n+1}.</math>
За допомогою даного ряду визначається також інтегральний синус від [[комплексне число|комплексного]] аргументу.

[[Асимптотичний розклад]] для <math>~\operatorname{Re} x \gg 1~</math> задається розбіжним рядом:
:<math>\operatorname{Si} x=\frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)</math>

== Див. також ==
* [[Інтегральний косинус]]
* [[Інтегральний логарифм]]
* [[Інтегральна показникова функція]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Література ==
*{{Фіхтенгольц.укр}}
*Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.

[[Категорія:Спеціальні функції]]