Якобіан

Якобіан — визна́чник матриці Якобі.

При заміні змінних $u_i=u_i(x_1,\dots ,x_j,\dots ,x_m)$ Якобіан визначається як

$J=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial u_1}{\partial x_m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial u_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial u_m}{\partial x_m}\end{array}\right|.$

Якобіан використовується при зміні змінних при інтегруванні:

$d{u}_1\cdot \dots d{u}_m=|J|d{x}_1\cdot \dots d{x}_m$.

Крім позначення літерою J використовується також позначення

$J=\frac{D(u_1,\dots ,u_m)}{D(x_1,\dots ,x_m)}$.

Якобіан має ряд властивостей, подібних до властивостей похідної. Зокрема

$\frac{D(u_1,\dots ,u_m)}{D(t_1,\dots ,t_m)}=\frac{D(u_1,\dots ,u_m)}{D(x_1,\dots ,x_m)}\frac{D(x_1,\dots ,x_m)}{D(t_1,\dots ,t_m)}$.

$\frac{D(u_1,\dots ,u_m)}{D(x_1,\dots ,x_m)}=\frac{1}{\frac{D(x_1,\dots ,x_m)}{D(u_1,\dots ,u_m)}}$.

Приклад

У сферичній системі координат

$x=r\sin \theta \cos \phi$

$y=r\sin \theta \sin \phi$

$z=r\cos \theta$

Якобіан дорівнює

$J(r,\theta ,\phi )=\left|\begin{array}{c}\frac{dx}{dr}\frac{dx}{d\theta }\frac{dx}{d\phi }\\ \frac{dy}{dr}\frac{dy}{d\theta }\frac{dy}{d\phi }\\ \frac{dz}{dr}\frac{dz}{d\theta }\frac{dz}{d\phi }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right|=r^2\sin \theta$

Тому

$dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Карла Якобі

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4 (englisch). (Für die Definition)
• Wolfgang Nolting: Klassische Mechanik. In: Grundkurs theoretische Physik. 8. Auflage. Band 1. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-34832-0.
• W. Tian, W. Gao, D. Zhang et. (2014) A general approach for error modeling of machine tools. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 79, 17–23. (застосування якобіана для багатокоординатної обробки об'єктів)