Ядрова оцінка густини розподілу

Ядрова оцінка густини розподілу ста нормально розподілених випадкових чисел з використанням різних параметрів згладжування.

В статистиці, я́дрова оці́нка густини́ розпо́ділу (Шаблон:Lang-en) — це непараметричний метод оцінки функції густини випадкової величини за вибіркою. Ядрова оцінка густини є важливою задачею згладжування даних; при застосуванні методу судження щодо статистичних властивостей популяції здійснюється на базі скінченної вибірки. В деяких галузях (таких як обробка сигналів, економетрика) поряд з ядровою оцінкою густини використовують назву вікно Парцель-Розенблата, на честь Шаблон:Нп та Шаблон:Нп, котрі незалежно один від одного створили метод в теперішньому його вигляді.

Визначення

Нехай (x₁, x₂, …, x_n) — вибірка н.о.р.в.в., отримана з деякого розподілу з невідомою густиною ƒ. Потрібно оцінити форму цієї функції ƒ. Ядрова оцінка цієї густини ƒ задається формулою

${\hat{f}}_h(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{K}_h(x-x_i)=\frac{1}{nh}\sum _{i=1}^{n}K\left(\frac{x-x_i}{h}\right),$

де K(·) — статистичне ядро — симетрична, але не обов'язково додатня функція з інтегралом рівним одиниці, Шаблон:Nowrap — параметр згладжування, який ще називають пропускно́ю зда́тністю.

Практичне обчислення параметра згладжування

Якщо використовується гаусівські ядрові функції для оцінки одновимірних даних і оцінювана базова густина є стандартною нормальною, тоді можна показати, що оптимальним значенням параметра згладжування, h, є

$h={\left(\frac{4{\hat{\sigma }}^5}{3n}\right)}^{\frac{1}{5}}\approx 1.06\hat{\sigma }{n}^{-1/5}$, де $\hat{\sigma }$ — стандартне відхилення вибірки, що оцінюється.

Таке наближення називається нормально розподілене наближення (або гаусівське наближення).

Див. також

• Простір масштабів: трійці {(x, h, ядрова оцінка густини з пропускною здатністю h, оціненою в x: для всіх x, h > 0} утворюють масштабопросторове подання даних.
• Ядро