Числа трибоначчі

Числа трибоначчі — послідовність цілих чисел $\left\{t_n\right\}$, задана за допомогою лінійного рекурентного співвідношення:

$t_0=0,t_1=0,t_2=1,t_{n+3}=t_{n+2}+t_{n+1}+t_n$.

Назва є варіацією назви «чисел Фібоначчі» — з доданням «три» (Шаблон:Lang-la), що позначає кількість чисел, що додаються.

Послідовність чисел трибоначчі починається так:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, … (Шаблон:OEIS)

Властивості

• При $n\to \mathrm{\infty }$ відношення сусідніх членів $\frac{t_{n+1}}{t_n}$ прямує до $C$ — дійсного кореня характеристичного рівняння $x^3-x^2-x-1=0$. Значення $C$ можна виразити в радикалах:

$C=\frac{1}{3}[{(19+3\sqrt{33})}^{1/3}+4{(19+3\sqrt{33})}^{-1/3}+1]=1,839286755\dots .$

Десяткові цифри $C$ утворюють Шаблон:OEIS.

• Будь-який член ряду трибоначчі можна визначити зі співвідношення, аналогічного формулі Біне для чисел Фібоначчі.

$t_n=\lfloor 3b\frac{{\left(\frac{1}{3}(a_{+}+a_{-}+1)\right)}^n}{b^2-2b+4}\rceil ,$

де $a_{\pm }={(19\pm 3\sqrt{33})}^{1/3}$, $b={(586+102\sqrt{33})}^{1/3}$, а $\lfloor \cdot \rceil$ — округлення до найближчого цілого.

Див. також

• Узагальнення чисел Фібоначчі
• Послідовність Фібоначчі

Посилання

• Рекурентне співвідношення