Функції Лежандра

Функції Лежандра P_λ, Q_λ та приєднані функції Лежандра PШаблон:Su, QШаблон:Su є узагальненнями поліномів Лежандра для нецілих індексів.

Означення

Функції Лежандра визначаються для будь-яких комплексних параметрів та аргументів через гіпергеометричні функції

$P_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left[\frac{1+z}{1-z}\right]}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;\frac{1-z}{2}),\text{for }|1-z|<2$

де $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функція, а ${}_2{F}_1$ — гіпергеометрична функція.

$Q_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\mathrm{\Gamma }(\lambda +3/2)}\frac{e^{i\mu \pi }(z^2-1{)}^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}{}_2{F}_1(\frac{\lambda +\mu +1}{2},\frac{\lambda +\mu +2}{2};\lambda +\frac{3}{2};\frac{1}{z^2}),$ для $|z|>1.$.

Вони є розв'язками рівняння

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+[\lambda (\lambda +1)-\frac{{\mu }^2}{1-x^2}]y=0,$

Див. також

• Приєднані поліноми Лежандра
• Список об'єктів, названих на честь Адрієна-Марі Лежандра
• Хі-функція Лежандра

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation