Функції Бесселя другого роду

Графіки функцій $Y_0(x)$ та $Y_1(x)$

Функція Бесселя 2-го роду $Y_n(x)$ (позначається також $N_n(x)$).

Інші назви — циліндрична функція 2-го роду n-ного порядку.

Визначення

Загальний розв'язок рівняння Бесселя при цілому $n$ має вигляд:

$y(x)=C_1{J}_n(x)+C_2{Y}_n(x)$.

Для не цілих $n$, функція $Y_n(x)$ визначається як:

$Y_n(x)=\frac{J_n(x)\cos (n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin (n\pi )}$

Для цілого $n$ функція функція $Y_n(x)$ визначається рівністю:

$Y_n(x)=\underset{m\to n}{\lim }\frac{J_m(x)\cos (m\pi )-J_{-m}(x)}{\sin (m\pi )}=$

$=\frac{2}{\pi }(C+\ln \left(\frac{x}{2}\right))J_n(x)-\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n-1_{}}\frac{(n-k-1)!}{k!}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{n-2k}-\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{{\mathrm{\infty }}_{}}\frac{(-1{)}^k}{k!(n+k)!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n+2k}(\mathrm{\Phi }(n+k)+\mathrm{\Phi }(k))$,

де $m$ — близьке до $n$ число, $C$ — константа Ейлера ( $C=0.5772...$)

і $\mathrm{\Phi }(k)=\sum _{s=1}^{k_{}}\frac{1}{s}$,

$\mathrm{\Phi }(k)=0$.

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.