Функція Томе

Графік функції Томе на інтервалі (0,1). Показані всі раціональні точки із знаменником не більше 200.

Функція Томе — це визначена на множині дійсних чисел функція $f(x)$ від дійсної змінної $x$, що названа на честь Шаблон:Не перекладено. Вона має багато назв: модифікована функція Діріхле, функція Рімана, краплева функція, лінійкова функція, Зірка Вавилона. Визначення можна записати так:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{q}& x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\\ 1& x=0\end{array}$

У даному означенні вважається, що дріб $\frac{p}{q}$ є нескоротним.

Властивості

• Функція Томе є неперервною в усіх ірраціональних точках і є розривною для всіх раціональних значень аргументів.

Справді, для будь-якого $x\in ℝ$ маємо

$\underset{y\to x}{\lim }f(y)=0.$

оскільки завжди можна підібрати проколотий окіл настільки малим, щоб усі належні до нього раціональні числа мали достатньо великі знаменники. З означення функції Томе і означення неперервності функції одержуємо необхідне твердження.

• На відміну від функції Діріхле, функція Томе є інтегровною за Ріманом на будь-якій скінченній області інтегрування.

Справді, нехай Z  — деяке розбиття області інтегрування і $\delta x_i<\lambda$  — довжини проміжків розбиття. Позначимо також ${\omega }_i$ коливання Функції Томе на проміжку і. Кількість раціональних чисел, що записуються як нескоротний дріб із знаменниками $q\le N$ де $N\in \mathbb{N}$ є, очевидно, деяким скінченним числом k. Тоді кількість проміжків розбиття, що містять такі числа, рівна щонайбільше 2k, а їх сукупна довжина не перевищує $2k\lambda$. На інших проміжках коливання функції є меншим $\frac{1}{N}$. Остаточно можемо записати:

$\sum {\omega }_i{\delta }_i<2k\lambda +\frac{d}{N}$, де d   -- довжина області інтегрування.

Узявши N достатньо великим, а $\lambda$ достатньо малим, можемо зробити цю суму як завгодно малою, звідки й випливає інтегровність за Ріманом.

Див. також

• Функція Діріхле
• Евклідів сад — функцію Томе можна інтерпретувати, як перспективне зображення Евклідового саду

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр