Фундаментальна група

Фундаментальною групою в алгебраїчній топології і пов'язаних з нею галузях математики, називається алгебраїчний об'єкт, який зіставляється топологічному простору і вимірює, грубо кажучи, кількість дірок у ньому. Наявність дірки визначається неможливістю неперервно стягнути деяку замкнуту петлю в точці. Фундаментальна група є першою гомотопічною групою.

Означення

Нехай $X$ — топологічний простір, і $x_0$ — точка в $X$, яку називатимемо відміченою. Розглянемо множину неперервних відображень $f:[0,1]\to X$, таких що $f(0)=f(1)=x_0$. Такі функції називаються петлями в точці $x_0$.

• Дві петлі $f$ і $g$ вважаються еквівалентними, якщо вони гомотопні одна одній. Відповідні класи еквівалентності називаються гомотопічними класами.

• Добутком двох петель називається петля, що визначається їх послідовним проходженням:

$(f*g)(t)=\{\begin{array}{c}f(2t),t\in [0,\frac{1}{2}]\\ g(2t-1),t\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$

• Оберненою до петлі $f$ є петля

$\bar{f}(t)=f(1-t)$ для $t\in [0,1]$. Одиничною петлею буде ${\epsilon }_{x_0}(t)=x_0$ для кожного $t\in [0,1]\subset ℝ$.

Добутком двох гомотопічних класів $[f]$ і $[g]$ називається гомотопічний клас $[f*g]$ добутку петель. Множина гомотопічних класів петель з таким добутком стає групою. Одиницею групи є клас тотожної, або нерухомої петлі, оберненим елементом — клас петлі, пройденої у зворотному напрямі. Ця група і називається фундаментальною групою простору $X$ з відміченою точкою $x_0$ і позначається ${\pi }_1(X,x_0)$.

Усі подані вище означення мають сенс оскільки виконується:

• Якщо $\alpha \sim {\alpha }^{\prime }$ і $\beta \sim {\beta }^{\prime }$, то $\alpha *\beta \sim {\alpha }^{\prime }*{\beta }^{\prime }$.
• Для $\alpha ,\beta ,\gamma$ виконується $(\alpha *\beta )*\gamma \sim \alpha *(\beta *\gamma )$.
• Для довільної петлі $\alpha$ існує ${\epsilon }_{x_0}*\alpha \sim \alpha *{\epsilon }_{x_0}\sim \alpha$ і $\alpha *\bar{\alpha }\sim \bar{\alpha }*\alpha \sim {\epsilon }_{x_0}$.

Якщо $X$ — лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки. Тому для таких просторів можна писати ${\pi }_1(X)$ замість ${\pi }_1(X,x_0)$ не боячись викликати плутанину.

Приклади

• У ${ℝ}^n$, є тільки один гомотопічний клас петель. Отже, фундаментальна група тривіальна, тобто $(\{0\},+)$.

• Одновимірні сфери $S^1$ (кола). Кожен гомотопічний клас складається з петель, які навиваються на коло задану кількість разів, яка може бути додатною або від'ємною залежно від напряму. Отже, фундаментальна група одновимірної сфери ізоморфна $(\mathbb{Z},+)$.

• Фундаментальна група орієнтованої замкнутої поверхні роду $g$ може бути задана твірними $a_1,\dots ,a_g,b_1,\dots ,b_g$ з єдиним співвідношенням: $a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}\dots a_g{b}_g{a}_g^{-1}{b}_g^{-1}=1$.

• Фундаментальною групою графу «вісімки» є вільна група з двома породжувальними елементами.

Властивості

• Вільні групи і лише вони можуть бути реалізовані як фундаментальні групи графів.
• Довільна група може бути реалізована як фундаментальна група двовимірного клітинного комплексу.
• Довільна скінченно задана група може бути реалізована як фундаментальна група замкнутого 4-вимірного многовиду.

Посилання

• Фундаментальна група на сайті PlanetMath

Див. також

• Фундаментальна область
• Залишково скінченна група

Література

1. Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
2. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0