Формула Гревіля

Формула Гревіля дозволяє обчислити псевдообернену матрицю $A^{+}$ для матриці $A \in ℂ^{m \times n}$ скінченним ітераційним способом.

На k-тій ітерації обчислюється $A_{k}^{+},$ де $A_{k}$ — матриця з перших k стовпців матриці $A .$

Запишемо $A_{k}$ у вигляді

A_{k} = [\begin{matrix} A_{k - 1} & a_{k} \end{matrix}],

де

a_{k}

— k-тий стовпець матриці

A, k = \overline{1, n} .

Позначимо також:

d_{k} = A_{k - 1}^{+} a_{k}

c_{k} = a_{k} - A_{k - 1} d_{k} = (I_{m} - A_{k - 1} A_{k - 1}^{+}) a_{k}

Тоді:

A_{k}^{+} = [\begin{matrix} A_{k - 1}^{+} - d_{k} b_{k}^{*} \\ b_{k}^{*} \end{matrix}],

де

b_{k}^{*} = {\begin{matrix} c_{k}^{+}, & c_{k} \neq 0; \\ (1 + d_{k}^{*} d_{k})^{- 1} d_{k}^{*} A_{k - 1}^{+}, & c_{k} = 0 . \end{matrix}

Джерела