Фактор Фано

Фактор Фано — термін статистики, що як і коефіцієнт варіації, є мірою дисперсії розподілу ймовірності шуму Фано. Фактор отримав назву на честь Уґо Фано.

Фактор Фано визначається так:

$F=\frac{{\sigma }_W^2}{{\mu }_W},$

де ${\sigma }_W^2$ — варіація і ${\mu }_W$ — середнє випадкового процесу на певному проміжку $W$. Фактор Фано розглядається як відношення шуму до сигналу; це міра точності, з якою випадкове число може бути оцінене на часовому проміжку, протягом якого відбуваються кілька випадкових подій.

Для пуассонівського процесу варіація дорівнює середньому, тому $F=1$ (нормалізація).

Якщо часовий проміжок дорівнює нескінченності фактор Фано дорівнює індексу дисперсії.

Визначення

Для процесу підрахунку $N_t$, фактор Фано $t>0$ задається як

$F(t)=\frac{\mathrm{Var}(N_t)}{\mathrm{E}[N_t]}.$

Іноді фактором Фано також називають границю

$F=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t).$

Для процесу відновлення з моментами затримки, розподіленими схожим чином із випадковою величиною $S$, маємо, що

$F=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(t)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{Var}(N_t)}{\mathrm{E}[N_t]}=\frac{\mathrm{Var}(S)}{\mathrm{E}[S{]}^2}.$

Ураховуючи, що права частина рівності дорівнює квадрату коєфіцієнту варіяції $c_v^2=\mathrm{Var}(S)/\mathrm{E}[S{]}^2$,її також іноді називають фактором Фано.

Інтерпретація

Фактор Фано часто інтерпретується як непередбачуваність основного процесу, бо він приблизно відповідає ширині піку $N_t$.

Приклад: Стала Випадкова Величина

Якщо моменти затримки сталі, то $F=0$. Себто, при $F\approx 0$ ми інтерпретуємо процес відновлення як доволі передбачуваний.

Приклад: Підрахунковий Процес Пуасона

Для такого процесу $F=1$.

Див. також

• Шум Фано
• Уґо Фано