Уявна одиниця

Шаблон:Mvar на комплексній або декартовій площині. Дійсні числа знаходяться на горизонтальній осі, а уявні числа на вертикальній осі.

Шаблон:Unibox Уявна одиниця $i$ — число, що при піднесенні до квадрата дає від'ємну одиницю:

$i^2=-1$

Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.

Уявна одиниця є одним з двох розв'язків квадратного рівняння Шаблон:Math. Хоча не існує такого дійсного числа що мало б таку властивість, Шаблон:Mvar використовують для розширення дійсних чисел до множини, що називається комплексними числами, і використовувати додавання і множення. Прикладом використання Шаблон:Mvar для утворення комплексного числа є такий запис: Шаблон:Math.

Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є $i$, то іншим розв'язком буде $-i$, бо справджується така рівність:

$(-i{)}^2=(-1\cdot i)\cdot (-1\cdot i)=(-1\cdot (-1))\cdot (i\cdot i)=1\cdot i^2=i^2=-1.$

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, який саме з двох розв'язків рівняння $i^2=-1$ позначатиметься $i$, а яке $-i$.

Степені уявної одиниці

Степені $i$ повторюються в циклі:

$\dots$

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^0=1$

$i^1=i$

$i^2=-1$

$i^3=-i$

$i^4=1$

$\dots$

Що можна записати для будь-якого степеня у вигляді:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i.$

де n — будь-яке натуральне число.

Звідси: $i^n=i^{nmod4}$ де mod 4 — це остача від ділення на 4.

Число $i^i$ є дійсним:

$i^i=e^{(i\pi /2)i}=e^{i^2\pi /2}=e^{-\pi /2}=0,20787957635\dots$

Факторіал

Факторіал уявної одиниці Шаблон:Math можна визначити як значення гамма-функції від аргументу Шаблон:Math:

$i!=\mathrm{\Gamma }(1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

Також

$|i!|=\sqrt{\frac{\pi }{\sinh (\pi )}}\approx 0.521564....$

Корені з уявної одиниці

В полі комплексних чисел корінь n-го степеня має n розв'язків. На комплексній площині корені уявної одиниці містяться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.

$u_k=\cos \frac{\frac{\pi }{2}+2\pi k}{n}+i\sin \frac{\frac{\pi }{2}+2\pi k}{n},k=0,1,...,n-1$

Це випливає з формули Муавра й того, як уявна одиниця записується у тригонометричному вигляді:

$i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$

Зокрема, $\sqrt{i}=\{\frac{1+i}{\sqrt{2}};\frac{-1-i}{\sqrt{2}}\}$ та $\sqrt[3]{i}=\{-i;\frac{i+\sqrt{3}}{2};\frac{i-\sqrt{3}}{2}\}$

Також корені уявної одиниці можуть бути представлені за допомогою експоненти:

$u_k=e^{\frac{(\frac{\pi }{2}+2\pi k)i}{n}},k=0,1,...,n-1$

Див. також

• Дуальні числа і Подвійні числа
• Комплексний аналіз
• Кватерніони
• Гіперкомплексні числа

Література

• Шаблон:Кантор.Солодовников
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru