Триакістетраедр

Шаблон:Поліедр Триакістетраедр (від Шаблон:Lang-grc — «тричі», Шаблон:Lang-grc2 — «чотири» і Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), також званий тригон-тритетраедром, — напівправильний многогранник (каталанове тіло), двоїстий зрізаному тетраедру. Складений із 12 однакових тупокутних рівнобедрених трикутників, у яких один із кутів дорівнює $\arccos (-\frac{7}{18})\approx 112,89^{\circ },$ а два інші — $\arccos \frac{5}{6}\approx 33,56^{\circ }.$

Має 8 вершин; у 4 вершинах (розташованих так само, як вершини правильного тетраедра) сходяться своїми гострими кутами по 6 граней, у 4 вершинах (розташованих так само, як вершини іншого правильного тетраедра) сходяться тупими кутами по 3 грані.

У триакістетраедра 18 ребер — 6 «довгих» (розташованих так само, як ребра правильного тетраедра) і 12 «коротких». Двогранний кут при будь-якому ребрі дорівнює $\arccos (-\frac{7}{11})\approx 129,52^{\circ }.$

Триакістетраедр можна отримати з правильного тетраедра, приклавши до кожної його грані правильну трикутну піраміду з основою, що дорівнює грані тетраедра, і висотою, яка в $\frac{5\sqrt{6}}{2}\approx 6,12$ разів менша від сторони основи. При цьому отриманий многогранник матиме по 3 грані замість кожної з 4 граней початкового — з чим і пов'язана його назва.

Метричні характеристики

Якщо «короткі» ребра триакістетраедра мають довжину $a$, то його «довгі» ребра мають довжину. $\frac{5}{3}a\approx 1,67a,$ а площа поверхні та об'єм виражаються як

$S=\frac{5\sqrt{11}}{3}{a}^2\approx 5,5277080a^2,$

$V=\frac{25\sqrt{2}}{36}{a}^3\approx 0,9820928a^3.$

Радіус вписаної сфери (що дотикається до всіх граней многогранника в їхніх інцентрах) при цьому дорівнює

$r=\frac{5\sqrt{22}}{44}a\approx 0,5330018a,$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер)

$\rho =\frac{5\sqrt{2}}{12}a\approx 0,5892557a.$

Описати навколо триакістетраедра сферу — так, щоб вона проходила через усі вершини, — неможливо.

Посилання

• Шаблон:MathWorld