Триакісоктаедр

Триакісокта́едр (від Шаблон:Lang-grc — «тричі», Шаблон:Lang-grc2 — «вісім» і Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), також званий триго́н-триокта́едром, — напівправильний многогранник (каталанове тіло), двоїстий зрізаному кубу. Складений із 24 однакових тупокутних рівнобедрених трикутників, у яких один із кутів дорівнює $\arccos \frac{1-2\sqrt{2}}{4}\approx 117,20^{\circ },$ а два інші по $\arccos \frac{2+\sqrt{2}}{4}\approx 31,40^{\circ }.$

Має 14 вершин; у 6 вершинах (розташованих так само, як вершини октаедра) сходяться своїми гострими кутами по 8 граней, у 8 вершинах (розташованих так само, як вершини куба) сходяться тупими кутами по 3 грані.

У триакісоктаедра 36 ребер — 12 «довгих» (розташованих так само, як ребра октаедра) і 24 «коротких» (разом утворюють фігуру, ізоморфну — але не ідентичну — кістяку ромбододекаедра). Двогранні кути при будь-якому ребрі однакові і дорівнюють $\arccos (-\frac{3+8\sqrt{2}}{17})\approx 147,35^{\circ }.$

Триакісоктаедр можна отримати з октаедра, приклавши до кожної його грані правильну трикутну піраміду з основою, що дорівнює грані октаедра, і висотою, яка в $3\sqrt{3}+2\sqrt{6}\approx 10,10$ разів менша від сторони основи. При цьому отриманий многогранник матиме по 3 грані замість кожної з 8 граней початкового — що й пояснює його назву.

Триакісоктаедр — одне з шести каталанових тіл, у яких немає гамільтонового циклу; гамільтонового шляху для всіх шести також немає.

Метричні характеристики

Якщо «короткі» ребра триакісоктаедра мають довжину $a$, то його «довгі» ребра мають довжину. $\frac{1}{2}(2+\sqrt{2})a\approx 1,71a,$ а площа поверхні та об'єм виражаються як

$S=3\sqrt{7+4\sqrt{2}}{a}^2\approx 10,6729419a^2,$

$V=\frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})a^3\approx 2,9142136a^3.$

Радіус вписаної сфери (що дотикається до всіх граней многогранника в їхніх інцентрах) при цьому дорівнюватиме

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{23+16\sqrt{2}}{17}}a\approx 0,8191407a,$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер)

$\rho =\frac{1}{4}(2+\sqrt{2})a\approx 0,8535534a.$

Описати навколо триакісоктаедра сферу — так, щоб вона проходила через усі вершини, — неможливо.

Примітні властивості

Триакісоктаедр ізоморфний зірчастому октаедру; це означає, що між гранями, ребрами і вершинами двох цих многогранників можна встановити взаємно однозначну відповідність так, що відповідні ребра з'єднують відповідні вершини і т. д. Інакше кажучи, якби «шарнірно з'єднані» між собою грані та ребра многогранника можна було стискати й розтягувати (але не згинати), триакісоксаедр удалося перетворити на зірчастий октаедр, і навпаки.

Посилання

• Шаблон:MathWorld