Третя проблема Гільберта

Тре́тя пробле́ма Гі́льберта — третя з проблем, які Давид Гільберт описав у його знаменитій доповіді на II Міжнародному Конгресі математиків у Парижі 1900 року. Ця проблема присвячена питанням рівноскладненості многогранників: можливості розрізання двох многогранників рівного об'єму на скінченне число частин таким чином, щоб обидва набори частин були однаковими.
Інакше кажучи, чи завжди можливо розрізати многогранник на частини так, щоб із цих частин скласти многогранник (того ж об'єму) іншої заданої форми.

Постановка питання пов'язана з тим, що, з одного боку, на площині будь-які два многокутники рівної площі рівноскладені (теорема Бояї — Гервіна). З іншого боку, способи виведення формули для об'єму тетраедра (1/3 добутку висоти на площу основи) так чи інакше були пов'язані з граничними переходами, і, таким чином, з аксіомою Архімеда. Хоча буквально в формулюванні Гільберта йшлося про рівноскладеність тетраедрів (а, точніше, про доведення неможливості такого розбиття в загальному випадку), воно природно розширюється до питання про рівноскладеність довільних многогранників однакового об'єму (а, точніше, про необхідні й достатні для цього умови).

Проблема виявилася найпростішою з проблем Гільберта: уже через рік Макс Ден (учень Гільберта) навів приклад нерівноскладених тетраедрів однакового об'єму. Він побудував величину — інваріант Дена — яка набуває значень у деякій абстрактній групі й значення якої на рівноскладених многогранниках однакові. А далі навів приклад тетраедрів рівного об'єму, для яких значення інваріанту Дена відрізняються.

1965 року Шаблон:Iw показав, що збіг об'єму й інваріанту Дена є не тільки необхідними, а й достатніми умовами рівноскладеності многогранників. Таким чином він повністю вирішив і розширену проблему.

Формулювання проблеми

Третя проблема Гільберта формулюється так: Шаблон:Цитата2

Інваріант Дена

Інваріант Дена набуває значень в абстрактній групі (точніше — у векторному просторі над $\mathbb{Q}$)

$V=ℝ{\otimes }_{\mathbb{Q}}ℝ/⟨\{l\otimes \pi \mid l\in ℝ\}⟩.$

А саме, для многогранника Шаблон:Math з довжинами ребер $l_1,\dots ,l_n$ та відповідними їм двогранними кутами ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ інваріант Дена Шаблон:Math вважається рівним

$D(P):=\sum _i{l}_i\otimes {\alpha }_i\in V$

При розрізанні многогранника на частини значення суми «довжина ребра $\otimes$ прилеглий кут» може змінюватися тільки при виникненні/зникненні нових ребер, що утворюються всередині або на межі. Але в таких ребер сума прилеглих до них двогранних кутів дорівнює $2\pi$ або $\pi$ відповідно, тому як елемент фактору Шаблон:Math інваріант Дена не змінюється.

Приклад

Прикладом застосування інваріанту Дена є нерівноскладеність куба й правильного тетраедра такого ж об'єму: для куба з ребром Шаблон:Math інваріант Дена дорівнює $12l\otimes \frac{\pi }{2}=6l\otimes \pi =0$, а для правильного тетраедра з ребром Шаблон:Math —

$6a\otimes 2\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}\ne 0,$

оскільки $\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}\notin \mathbb{Q}\pi .$

Посилання

• Шаблон:MathWorld

Література

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга-ру
• Dehn, M. «Über raumgleiche Polyeder.» Nachr. Königl. Ges. der Wiss. zu Göttingen f. d. Jahr 1900, 345—354, 1900.
• Dehn, M. «Über den Rauminhalt.» Math. Ann. 55, 465—478, 1902.
• Sydler, J.-P. «Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions.» Comment. Math. Helv. 40, 43-80, 1965.
• P. Cartier, Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième problème de Hilbert, Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, p. 261—288.