Теорема про частку

Теорема про частку — твердження про те, що якщо результат множення вектора на величину з довільним числом верхніх і нижніх індексів є тензором для будь-якого вектора, то величина з верхніми і нижніми індексами є тензором.

Формулювання

Нехай величина $P_{\lambda \mu \nu }$ така, що для будь-якого вектора $A^{\nu }$ величина $A^{\lambda }{P}_{\lambda \mu \nu }$ є тензором. У цьому випадку величина $P_{\lambda \mu \nu }$ є тензором.

Доведення

Розглянемо перетворення від старої криволінійної системи координат, де вектор має координати $x^{\mu }$ до нової системи координат, де цей же вектор має координати $x^{{\mu }^{\prime }}$. Домовимося позначати $\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\nu }}=x_{,\nu }^{{\mu }^{\prime }}$. Позначимо величину $Q_{\mu \nu }=A^{\lambda }{P}_{\lambda \mu \nu }$. За умовою, $Q_{\mu \nu }$ є тензор, тому $Q_{\beta \gamma }=Q_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{x}_{,\beta }^{{\mu }^{\prime }}{x}_{,\gamma }^{{\nu }^{\prime }}$. Тоді $A^{\alpha }{P}_{\alpha \beta \gamma }=A^{{\lambda }^{\prime }}{P}_{{\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime }{\gamma }^{\prime }}{x}_{,\beta }^{{\mu }^{\prime }}{x}_{,\gamma }^{{\nu }^{\prime }}$. Так як $A^{\lambda }$ є вектором, за правилами перетворення векторів маємо: $A^{{\lambda }^{\prime }}=A^{\alpha }{x}_{,\alpha }^{{\lambda }^{\prime }}$. Таким чином: $A^{\alpha }{P}_{\alpha \beta \gamma }=A^{\alpha }{x}_{,\alpha }^{{\lambda }^{\prime }}{P}_{{\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{x}_{,\beta }^{{\mu }^{\prime }}{x}_{,\gamma }^{{\nu }^{\prime }}$ Ця рівність має бути вірнрю для всіх $A^{\alpha }$, отже $P_{\alpha \beta \gamma }=P_{{\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{x}_{,\alpha }^{{\lambda }^{\prime }}{x}_{,\beta }^{{\mu }^{\prime }}{x}_{,\gamma }^{{\nu }^{\prime }}$. Величина $P_{\alpha \beta \gamma }$ є тензором. Доведення неважко узагальнити на будь-яке число верхніх і нижніх індексівШаблон:Sfn.

Джерела

• Шаблон:Книга

Посилання

• Quotient Rule // Essential Mathematical Methods for Physicists
• Quotient Rule // Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics
• Quotient Rule // Mathematics for Physical Science and Engineering