Теорема Фробеніуса

Теорема Фробеніуса — теорема, що описує основні алгебри з діленням.

Ця теорема сформульована німецьким математиком Фердинандом Георгом Фробеніусом в 1878 році.

Формулювання теореми

Довільна альтернативна алгебра з діленням ізоморфна одній з чотирьох алгебр:

1. дійсних чисел
2. комплексних чисел
3. кватерніонів
4. октоніонів

Доведення

Якщо $𝒜$ — альтернативна алгебра з діленням, то доводяться її властивості:

• Алгебра $𝒜$ має одиницю.

• Якщо елемент $𝐚\in 𝒜$ і не пропорційний $\mathrm{𝟏},$ то сукупність ${𝒦}_a$ елементів виду $\alpha \mathrm{𝟏}+\beta 𝐚,$ утворює підалгебру, ізоморфну алгебрі комплексних чисел.

• Якщо елементи ${𝐚}_{\mathrm{𝟏}},{𝐚}_{\mathrm{𝟐}}\in 𝒜$ не належать одній підалгебрі ${𝒦}_a,$ то сукупність ${𝒬}_{a_1{a}_2},$ елементів виду $\alpha \mathrm{𝟏}+\beta {𝐚}_{\mathrm{𝟏}}+\gamma {𝐚}_{\mathrm{𝟐}}+\delta {𝐚}_{\mathrm{𝟏}}{𝐚}_{\mathrm{𝟐}},$ утворює підалгебру ізоморфну алгебрі кватерніонів.

• …

Джерела

• Шаблон:Кантор.Солодовников