Теорема Фогта–Рассела

Теорема Фогта–Рассела стверджує, що структура зорі, яка перебуває в гідростатичній і тепловій рівновазі з енергією, яка виділяється в її ядерних реакціях, однозначно визначається її масою та внутрішнім розподілом хімічних елементів. Хоча теорема Фогта–Рассела називається теоремою, вона ніколи не була доведена в загальному випадку. Теорема названа на честь астрономів Генріха Фогта та Генрі Норріса Рассела, які розробили її незалежно один від одного.

Формулювання теореми

Згідно означення, озвученого Чандрасекхаром, теорема Фогта-Рассела стверджує, що за деяких загальних умов уся структура зорі унікально визначається її масою $m$ та хімічним складом $\mu$.

До вказаних умов належать, зокрема:

• Відсутність сильних магнітних полів;
• Відсутність швидкого обертання зорі.

Аналітичне доведення

Як було сказано раніше, теорема Фогта-Рассела ніколи не була доведена в загальному випадку, проте може бути показана через систему рівняннь структури зорі:

1. Рівняння гідростатичної рівноваги: $\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)}{r^2}\rho$
2. Рівняння маси зорі: $\frac{dM(r)}{dr}=4\pi r^2\rho$
3. Рівняння стану: $P=\frac{R}{\mu }\rho T$
4. Рівняння переносу: $\frac{dP(r)}{dr}=-\frac{\alpha L(r)}{4\pi r^{2}c}=-\frac{\kappa \rho L(r)}{4\pi r^{2}c}$
5. Рівняння енерговиділення: $\frac{dL}{dr}=4\pi r^2\rho ϵ$
6. Рівняння конвективного переносу: $\frac{1}{P}\frac{dP}{dr}=\frac{\gamma }{\gamma -1}\frac{1}{T}\frac{dT}{dr}$

Маємо набір із диференціальних рівнянь. З них можемо записати вираз через деяку функцію $f_i$, яка буде описувати зорю:

$f_i(r,\rho (r),T(r),M(r),L(r),\mu )=0$

проінтегрувавши її, будемо мати:

$F_i(r,\rho (r),T(r),M(r),L(r),\mu ,c_1,c_2,c_3,c_4)=0$

Розглянемо випадок $r=r_{\star }$, звідси:

$F_i(r_{\star },0,0,M_{\star },L_{\star },\mu ,c_1,c_2,c_3,c_4)=0\Rightarrow c_i=c_i(r_{\star },M_{\star },L_{\star },\mu )$

тепер нехай $r=0$:

$F_i(0,{\rho }_c,T_c,M_{\star },L_{\star },\mu )=0$

При $i=1,2$ - знаходимо ${\rho }_c$ i $T_c$.

Залишаються:

$f_3(\mu ,r_{\star },M_{\star },L_{\star })=0$

$f_4(\mu ,r_{\star },M_{\star },L_{\star })=0$

Отже, для визначення структури зорі достатньо задати тільки два елементи.

Література

• Шаблон:Literatur
• Шаблон:Literatur