Теорема Сохоцького — Веєрштрасса

Теорема Сохоцького — Веєрштрасса (також теорема Казораті, теорема Казораті — Веєрштрасса) — теорема в комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної функції в околі істотно особливої точки. А саме відповідно до цієї теореми множина значень цієї функції в довільно малому околі істотно особливої точки є щільною множиною в множині комплексних чисел.

Вперше опублікована Казораті і Сохоцьким в 1868 році, згодом Веєрштрассом у 1876 році.

Значним посиленням теореми є велика теорема Пікара, згідно з якою множиною значень насправді є всі комплексні числа, за винятком можливо лише одного.

Твердження теореми

Нехай функція $f$ — голоморфна у відкритій множині $U\mathrm{\setminus }\{z_0\}$ і в точці $z_0\in ℂ$ має істотно особливу точку. Тоді для будь-якого числа $A\in ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ можна знайти послідовність точок $z_n$ таких що $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n\to z_0$ і також $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z_n)\to A.$ Іншими словами якщо $\overline{D}=D(z_0,r)\setminus \{z_0\}$ — довільний проколотий круг з центром в точці $z_0$, що міститься в $U\mathrm{\setminus }\{z_0\}$, то множина $f(\overline{D})$ є щільною в множині комплексних чисел.

Доведення

Нехай спершу $A=\mathrm{\infty }$. Оскільки функція $f$ не може бути обмеженою в довільному проколотому крузі $D(z_0,r)\setminus \{z_0\}$ з центром в істотно особливій точці то в цьому крузі можна знайти точку $z_1$ в якій $|f(z_1)|>1.$ У той же спосіб визначається існування числа $z_2\in D(z_0,r/2)\setminus \{z_0\}$ для якого $|f(z_2)|>2$ і загалом чисел $z_n\in D(z_0,r/n)\setminus \{z_0\}$ для яких $|f(z_n)|>n.$

Очевидно, що в цьому випадку $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n\to z_0$ і також $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z_n)\to \mathrm{\infty }.$

Нехай тепер $A\in ℂ$.

Якщо для кожного проколотого круга $D(z_0,r)\setminus \{z_0\}$ існує така точка $z_r\in D(z_0,r)\setminus \{z_0\}$ для якої $f(z_r)=A$ то послідовність із твердження теореми можна визначити взявши $z_n=z_{r/n}.$ Тоді $f(z_n)=A$ для всіх $n$ і $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n\to z_0$.

Якщо ж в деякому проколотому крузі $D(z_0,r)\setminus \{z_0\}$, що міститься в $U\mathrm{\setminus }\{z_0\}$ функція $f(z)\ne A$ то можна визначити функцію:

$g(z)=\frac{1}{f(z)-A}$

Вона буде голоморфною в $D(z_0,r)\setminus \{z_0\}$ і матиме істотно особливу точку в $z_0.$ Тому з уже доведеного можна знайти послідовність точок $z_n\in D(z_0,r)\setminus \{z_0\}$ таких що $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n\to z_0$ і також $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(z_n)\to \mathrm{\infty }.$

Але тоді також:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z_n)=A+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{f(g_n)}=A,$

що завершує доведення теореми.

Див. також

• Суттєво особлива точка
• Теорема Пікара

Джерела

• Мельник Т. А. Курс лекцій з комплексного аналізу.