Теорема Рауса

Теорема Рауса визначає відношення між площами даного трикутника і трикутника, утвореного трьома попарно перетинними чевіанами. Теорема стверджує, що якщо в трикутнику $ABC$ точки $D$, $E$ і $F$ лежать на сторонах $BC$, $CA$ і $AB$ відповідно, то, якщо позначити $\frac{CD}{BD}$$=x$, $\frac{AE}{CE}$$=y$ і $\frac{BF}{AF}$$=z$, орієнтована площа трикутника, утвореного чевіанами $AD$, $BE$ і $CF$ відносно площі трикутника $ABC$ виражається співвідношенням

$\frac{(xyz-1{)}^2}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}$

Теорему довів Едвард Раус на 82 сторінці його Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples 1896 року. В окремому випадку, $x=y=z=2$ теорема перетворюється на відому теорему про одну сьому площі трикутника. В разі $x=y=z=1$ медіани перетинаються в центроїді.

Доведення

Нехай площа трикутника $ABC$ дорівнює $1$. Для трикутника $ABD$ і лінії $FRC$, за теоремою Менелая, отримаємо:

$\frac{AF}{FB}\times \frac{BC}{CD}\times \frac{DR}{RA}=1$

Тоді $\frac{DR}{RA}=\frac{BF}{FA}\times \frac{DC}{CB}=\frac{zx}{x+1}$. Тому площа трикутника $ARC$ дорівнює

$S_{ARC}=\frac{AR}{AD}{S}_{ADC}=\frac{AR}{AD}\times \frac{DC}{BC}{S}_{ABC}=\frac{x}{zx+x+1}$

Аналогічно, отримуємо: $S_{BPA}=\frac{y}{xy+y+1}$ і $S_{CQB}=\frac{z}{yz+z+1}$.

Таким чином, площа трикутника $PQR$ дорівнює:

$S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}$

$=1-\frac{x}{zx+x+1}-\frac{y}{xy+y+1}-\frac{z}{yz+z+1}$

$=\frac{(xyz-1{)}^2}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}.$

Посилання

• Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh's theorem», Crux Mathematicorum 7: 199—203.
• HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219—220, 2nd edition, Wiley, New York.
• JS Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh's theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37-40
• Jay Warendorff. Routh 's Theorem Шаблон:Webarchive The Wolfram Demonstrations Project .
• Шаблон:MathWorld
• Routh's Theorem by Cross Products — MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.