Теорема Марцинкевича

Теорема Марцинкевича — твердження в теорії ймовірностей.

Нехай $\{a_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ — послідовність комплексних чисел, яка не має скінченної граничної точки. Показником збіжності послідовності $\{a_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ називається точна нижня межа тих чисел $\lambda >0$, для яких збігається ряд

$\sum _{a_k\ne 0}|a_k{|}^{-\lambda }$

(якщо цей ряд розбігається при будь-якому $\lambda >0$, показником збіжності вважають $\mathrm{\infty }$). Відомо, що показник збіжності коренів цілої функції не перевищує порядок цілої функції.

Формулювання теореми

Нехай $\phi (t)$ — характеристична функція. Припустимо, що $\phi (t)$ — ціла функція скінченного порядку $\rho$, показник збіжності послідовності коренів якої дорівнює ${\rho }_1$. Якщо ${\rho }_1<\rho$, то $\rho \le 2.$

Наслідок

Нехай $\phi (t)$ — характеристична функція виду

$\phi (t)=e^{P(t)},$

де $P(t)$ — многочлен. Тоді $P(t)=ist-\sigma t^2,$ де $s\in ℝ$, $\sigma \ge 0,$ тобто $\phi (t)$ — характеристична функція нормального розподілу, можливо виродженого.

Іноді саме цей наслідок і називають теоремою Марцинкевича. Теорема Марцинкевича часто використовується при характеризації нормального розподілу.

Література

• J. Marcinkiewicz. Sur une propriéte de la loi de Gauss. Math. Zeitschr. 44, (1938), 612—618.
• Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972.

[