Теорема Лузіна

В математиці теорема Лузіна стверджує, що довільна вимірна функція є неперервною майже на всій своїй області визначення.

Більш формально, нехай для інтервалу [a, b] функція:

$f:[a,b]\to ℝ$

є вимірною. Тоді для довільного $\epsilon >0$, існує компактна множина $E\subset [a,b]$ така, що функція ƒ є неперервною на E і

$\mu (E^c)<\epsilon .$

Тут E^c позначає доповнення E у множині [a, b].

Узагальнення

Нехай $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ — вимірний простір, де $X$ локально компактний гаусдорфів простір, $\mathrm{\Sigma }$ — сигма-алгебра на $X$, що містить борелівську сигма-алгебру, і $\mu$ — деяка регулярна міра. Для $\mathrm{\Sigma }$-вимірної функції $f:X\to ℝ$ виконується твердження:

Для множини $A\in \mathrm{\Sigma }$ такої, що $\mu (A)<\mathrm{\infty }$ і довільного $\epsilon >0$ існує компактна множина $K\subset A$ для якої $\mu (A\setminus K)<\epsilon$, і $f{|}_K$ — звуження функції на множину K є неперервним.

Література

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
• Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1.