Теорема Левінсона

Теорема Левінсона — визначає умови того, що дві системи асимптотично еквівалентні.

Формулювання теореми

Нехай розв'язки системи

$\frac{dx}{dt}=Ax,(1)$

де $A$ — стала $(n\times n)$-матриця, обмежені на $[0,\mathrm{\infty })$. Тоді система

$\frac{dy}{dt}=[A+B(t)]y,(2)$

де $B(t)\in C[0,\mathrm{\infty })$ та $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(t)\Vert dt<\mathrm{\infty },(3)$

асимптотично еквівалентна системі $(1)$.

Доведення

(Ідея викладеного нижче доведення належить Брауеру)

Оскільки розв'язки системи $(1)$ обмежені, то характеристичні корені $\lambda (A)$ матриці $A$  задовольняють рівність

$Re\lambda (A)\le 0,$

причому характеристичні корені з нульовими дійсними частинами мають прості елементарні дільники.

Без обмеження загальності припустимо, що матриця $A$  має квазідіагональний вигляд

$A=diag(A_1,A_2),(4)$

де $A_1$  та $A_2$ -- відповідно, $(p\times p)$- та $(q\times q)$-матриці $(p+q)$ такі, що

$Re\lambda (A_1)<-\alpha <0,$

$Re\lambda (A_2)=0,(5)$

Дійсно, це можна отримати за допомогою простих перетворень $\xi =S𝒙,$ та $\eta =S𝒚,$ де $S$ — стала $(n\times n)$-матриця, причому взаємно однозначна відповідність між новими інтегральними кривими $\mathit{\xi }(t)⟺\mathit{\eta }(t)$ індукує взаємно однозначну відповідність між старими інтегральними кривими $𝒙(t)=S^{-1}\xi (t)⟺S^{-1}\eta (t)=𝒚(t)$.

Крім того, з граничного відношення $\mathit{\xi }(t)-\mathit{\eta }(t)\to 0,$ при $t\to \mathrm{\infty }$ очевидно, випливає граничне відношення

$𝒙(t)-𝒚(t)\to 0,$ при $t\to \mathrm{\infty }$.

$1)$  Нехай $X(t)=diag(e^{t{A}_1},e^{t{A}_2})$ — фундаментальна матриця системи $(1),$ нормована в нулі: $X(t)=E,$ та $I_1=diag(E_p,0),$ та $I_2=diag(0,E_q),$ де $E_q$ та $E_p$ — одиничні матриці відповідних порядків q та p, при тому, очевидно, $I_1+I_2=E_n.$

Покладемо $X(t)=X_1(t)+X_2(t),$ де $X_1(t)=X(t)I_1\equiv diag(e^{t{A}_1},0),$ та $X_2(t)=X(t)I_2\equiv diag(0,e^{t{A}_2})$.

Звідси матрицю Коши $K(t,\tau )\equiv X(t)X^{-1}(\tau )=X(t-\tau )$ можна представити у вигляді:

$K(t,\tau )=X_1(t-\tau )+X_2(t-\tau ),$

причому за умови $(5)$ маємо

$\Vert X_1(t)\Vert =\Vert e^{t{A}_1}\Vert \le a{e}^{-\alpha t},$

при

$0\le t<\mathrm{\infty }$

   

$(6)$

та  

$\Vert X_2(t)\Vert =\Vert e^{t{A}_2}\Vert \le b,$

 при 

$-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$ $(7),$

 де 

$a,b$

 - деякі додатні константи.

Використовуючи метод варіації довільних сталих, диференціальне рівняння $(2)$ можна записати в інтегральній формі

$y(t)=X(t-t_0)𝒚(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{X}_1(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau +$

$+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau ,$

   де  $t\in [0,\mathrm{\infty })$  довільне.

Оскільки матриця $B(t)$ абсолютно інтегровна на $[0,\mathrm{\infty }),$ то всі розв'язки $𝒚(t)$ системи $(2)$ обмежені на $[0,\mathrm{\infty }),$ і тому невласний інтеграл $\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau$ є збіжним.

Звідси, враховуючи, що $X_2(t-\tau )=X(t-\tau )I_2=X(t-t_0)X(t_0-\tau )I_2=X(t-t_0)X_2(t_0-\tau ),$ наше інтегральне рівняння можна представити у вигляді

$y(t)=X(t-t_0)[𝒚(t_0)+\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t_0-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau ]+$

$+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{X}_1(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau -\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau (8)$

Розв'язку

$𝒚(t)$

системи

$(2)$

з початковою умовою

$𝒚(t_0)={𝒚}_0$

співставимо розв'язок

$𝒙(t)$

системи

$(1)$

з початковою умовою

$𝒙(t_0)={𝒚}_0(t_0)+\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau (9)$

Оскільки розв'язки $𝒙(t)$ та $𝒚(t)$ повністю визначаються своїми початковими умовами, то формула $(9)$ встановлює однозначну відповідність між множиною всіх розв'язків $\{𝒚(t)\}$ системи $(2)$ та множиною розв'язків $\{𝒙(t)\}$ (або її частиною) системи $(1)$. Зауважимо, що відношення $(9)$ неперервне відносно початкового значення $𝒚(t_0)={𝒚}_0.$

$2)$  Покажемо, що відповідність між розв'язками $𝒙(t)$ та $𝒚(t),$ що визначається формулою $(9),$ є взаємно однозначним та розповсюджується на всю множину розв'язків $\{𝒙(t)\}$.

Нехай

$Y(t)$

 — фундаментальна матриця системи

$(1)$

така, що

$Y(t_0)=E$

.Маємо

$Y(t)=X(t-t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}X(t-\tau )B(\tau )Y(\tau )d\tau .$

Але з нерівностей $(6),(7)$ випливає $\Vert X(t-t_0)\Vert \le max(a,b)=c,$   при  $t\ge t_0$;

тому

$\Vert Y(t)\Vert \ge c+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}c\Vert B(\tau )\Vert \Vert Y(\tau )\Vert d\tau$

та в силу леми Гронуолла-Беллмана знаходимо

$\Vert Y(t)\Vert \ge c\exp (\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}c\Vert B(\tau )\Vert d\tau )\ge c\exp (c\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau )=k,$при $t_0\ge t<\mathrm{\infty }(10),$

причому константа $k$ за оцінкою $(10)$ не залежить від вибору початкового моменту $t_0(t_0\le 0).$

Очевидно, маємо $𝒚(t)=Y(t)𝒚(t_0).$ Тому з формули $(9)$ отримуємо $𝒚(t_0)=[E+Z(t_0)]𝒚(t_0),$ де $Z(t_0)=\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t_0-\tau )B(\tau )Y(\tau )d\tau ,$ причому на основі $(7),(10)$ виводимо

$\Vert Z(t_0)\Vert \ge \underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert X_2(t_0-\tau )\Vert \Vert B(\tau )\Vert \Vert Y(\tau )\Vert d\tau \ge bk\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau (12).$

Оскільки матриця $B(t)$ абсолютно інтегровна на $[0,\mathrm{\infty })$, то $\underset{t_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau \to 0$ при $t_0\to \mathrm{\infty }$, отже, в силу $(12)$ початковий момент $t_0$ можна вибрати настільки великим, щоб мала місце нерівність $\det [E+Z(t_0)]>0.(13)$

Надалі $t_0$ будемо вважати фіксованим та припускати наявність нерівності $(13)$. Звідси та з формули $(11)$ виводимо

$𝒚(t_0)=[E+Z(t_0)]^-1𝒙(t_0).(14)$

Оскільки формули $(11)$ та $(14)$ рівносильні, то для кожного розв'язку $𝒙(t)$ системи $(1)$ з початковою умовою $𝒙(t_0)={𝒙}_0$ знайдеться тільки один розв'язок $𝒚(t)$ системи $(2),$ що відповідає встановленому вище відношенню, а саме, це розв'язок, початкова умова $𝒚(t_0)$ якого визначається формулою $(14).$

Відповідність між розв'язками $𝒙(t)$ та $𝒚(t)$, що встановлюється формулами $(11)$ та $(14),$ — взаємно однозначна, тобто кожному розв'язку $𝒚(t)$ відповідає один і тільки один розв'язок $𝒙(t)$, і навпаки.

Відмітимо, що тривіальному розв'язку $𝒚\equiv 0$ відповідає тривіальний розв'язок $𝒙\equiv 0$ та в силу лінійності співвідношень $(11)$ та $(14)$ різними розв'язками ${𝒚}_1(t)$ та ${𝒚}_2(t)$ системи $(2),$ відповідають різні розв'язки ${𝒙}_1(t)$ та ${𝒙}_2(t)$ системи $(1),$ і навпаки.

$3)$ Для відповідних розв'язків $𝒙(t)$ та $𝒚(t)$ оцінимо норму їх різниці. Оскільки, це очевидно,

$𝒙(t)=X(t-t_0)𝒙(t_0),$ де $𝒙(t_0)$ визначається формулою $(9)$, то з формули $(8)$ маємо

$𝒚(t)-𝒙(t)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{X}_1(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau -\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{X}_2(t-\tau )B(\tau )𝒚(\tau )d\tau .$

Звідси, враховуючи, що

$\Vert 𝒚(t)\Vert =\Vert Y(t)𝒚(t_0)\Vert \le \Vert Y(t)\Vert \Vert 𝒚(t_0)\Vert \le k\Vert 𝒚(t_0)\Vert ,$ при $t\ge t_0,$

на основі оцінок $(6)$ та $(7)$ отримуємо

$\Vert 𝒚(t)-𝒙(t)\Vert \le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\Vert X_1(t-\tau )\Vert \Vert B(\tau )\Vert \Vert 𝒚(\tau )d\tau +\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert X_2(t-\tau )\Vert \Vert B(\tau )\Vert \Vert 𝒚(\tau )d\tau \le$

$\le ak\Vert 𝒚(t_0)\Vert \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau +bk\Vert 𝒚(t_0)\Vert \underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau .(15)$

Враховуючи абсолютну інтегровність матриці $B(t)$ при $t\ge 2t_0$ маємо $\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau =\underset{t_0}{\overset{\frac{t}{2}}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau +\underset{\frac{t}{2}}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau \le$

$\le e^{-\frac{\alpha t}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau +\underset{\frac{t}{2}}{\overset{t}{\int }}\Vert B(\tau )\Vert d\tau <\epsilon ,$ якщо $t>T.$

Отже, $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\Vert B(\tau )\Vert d\tau =0.$ Таким чином, з нерівності $(15)$ виводимо $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}[x(t)-y(t)]=0,$ тобто системи $(1)$ та $(2)$ асимптотично еквівалентні. Доведено.

Див. також

• Лема Гронуолла-Беллмана
• Асимптотично еквівалентні системи

Джерела

• Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. Шаблон:Ref-ru