Теорема Карно про перпендикуляри

Теорема Карно про перпендикуляри до сторін трикутника:
синя площа = червона площа

Теорема Карно (названа в честь Лазара Карно) описує необхідну і достатню умову для того, щоб три прямі, перпендикулярні до сторін трикутника (або їх продовжень), перетиналися в одній точці. Теорему також можна розглядати як узагальнення теореми Піфагора.

Теорема

Для трикутника $\mathrm{△}ABC$ зі сторонами $a,b,c$ розглянемо три прямі, які перпендикулярні до сторін трикутника і перетинаються в спільній точці $F$. Якщо $P_a,P_b,P_c$ є точками перетину зазначених трьох прямих зі сторонами $a,b,c$ трикутника відповідно, то виконується таке рівняння:

$|A{P}_c{|}^2+|B{P}_a{|}^2+|C{P}_b{|}^2=|B{P}_c{|}^2+|C{P}_a{|}^2+|A{P}_b{|}^2.$

Істинним є і обернене твердження, тобто якщо зазначене рівняння виконується для точок перетину трьох прямих, перпендикулярних сторонам, та трьох сторін трикутника, то прямі перетинаються в одній точці. Отже, рівняння вказує на необхідну і достатню умову.

Особливі випадки

Якщо трикутник $\mathrm{△}ABC$ має прямий кут в точці $C$ і точка перетину $F$ збігається з будь-якою з точок $A$ або $B$, то рівняння, зазначене вище, дає теорему Піфагора. Наприклад, якщо $F$ збігається з $A$ тоді $|A{P}_b|=0$, $|A{P}_c|=0$, $|C{P}_a|=0$, $|C{P}_b|=b$, $|B{P}_a|=a$ і $|B{P}_c|=c$ . Отже, наведене вище рівняння перетворюється на теорему Піфагора $a^2+b^2=c^2$.

Іншим наслідком теореми Карно про перпендикуляри є властивість перпендикулярних бісектрис трикутника перетинатися в спільній точці. У разі перпендикулярних бісектрис маємо, що $|A{P}_c|=|B{P}_c|$, $|B{P}_a|=|C{P}_a|$ і $|C{P}_b|=|A{P}_b|$ і, отже, виконується наведене вище рівняння, а це означає, що всі три перпендикуляри перетинаються в одній точці.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Флоріан Модлер: Vergessene Sätze am Dreieck — Der Satz von Carnot на matheplanet.com Шаблон:Ref-de
• Теорема Карно на cut-the-knot.org Шаблон:Ref-en