Теорема Дворецького

Теоре́ма Дворе́цького — стверджує, що кожна центрально-симетрична опукла множина досить високої розмірності має перетин, близький до еліпсоїда.

Довів на початку 1960-х років Ар'я Дворецький як відповідь на питання Александра Гротендіка. У 1970-х роках Віталій Мільман знайшов альтернативне доведення, яке стало однією з початкових точок для розвитку принципу концентрації міри та асимптотичного геометричного аналізу .

Формулювання

Для будь-якого натурального числа $k$ і кожного $\epsilon >0$ існує таке натуральне число $K$, що якщо $(X,\Vert *\Vert )$ — нормований простір розмірності $K$, то існує підпростір $E\subset X$ розмірності $k$ та додатна квадратична форма $Q$ на $E$, така, що:

$\Vert x\Vert ⩽\sqrt{Q(x)}⩽(1+\epsilon )\cdot \Vert x\Vert$

для будь-якого $x\in E$.