Тензорне поле

Тензорне поле — це відображення, яке кожній точці простору ставить у відповідність тензор.

Визначення

Формально тензорне поле можна визначити кількома способами.

Визначення через поняття структури на многовиді

Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати наступне визначення:

Нехай $V={ℝ}^n$, $V^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,ℝ)$ і $V_q^p=((\stackrel{p}{\otimes }V))\otimes ((\stackrel{q}{\otimes }{V}^{*}))$ — простір тензорів типу $(p,q)$ з природним тензорним представленням групи $G{L}^1(n)=GL(n)$, тоді структура типу $V_q^p$ є лінійною структурою першу порядку і називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу $(p,q)$.

Визначення через поняття тензорного розшарування

При визначенні тензорного поля можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.

Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування $T^{p,q}(M)$ на диференційовному многовиді $M$, ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань

$T^{p,q}(M)\cong \stackrel{p}{\otimes }T(M)\otimes \stackrel{q}{\otimes }T(M{)}^{*}.$

Нестрогі визначення

Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду $M$ ставить у відповідність тензор постійної валентності.

Область застосування

Поняття тензорного поля природним чином виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ при описі анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування у всіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.

Розширене тензорне поле

Поняття розширеного тензорного поля виникає в результаті розширення поняття тензорного поля у викладеному вище сенсі.

Нестрогі означення

Простіше за все розуміти таке розширення виходячи з нестрогого визначення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці $x$ многовиду $M$ деякий тензор фіксованої валентності $(p,q)$, віднесений до цієї точки $x$. Нехай тепер $\tilde{M}$ — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над $M$, і нехай $\pi :\tilde{M}\to M$ — канонічна проєкція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці $y$ у многовиді $\tilde{M}$ деякий тензор фіксованого валентності $(p,q)$ на $\tilde{M}$ віднесений до точки $x=\pi (y)$.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга