Тензор модулів пружності

Шаблон:Без джерел Тензор модулів пружності або тензор пружності - тензор четвертого рангу $c_{iklm}$, який зв'язує між собою тензор механічних напружень ${\sigma }_{ik}$ і тензор деформації ${\epsilon }_{lm}$ в законі Гука

${\sigma }_{ik}=\sum _{lm}{c}_{iklm}{\epsilon }_{lm}$.

Симетрія

Загалом тензор четвертого рангу має 81 компоненту. Однак, кількість незалежних компонент зменшується завдяки симетричності тензора пружності.

Тензор пружності симетричний відносно перестановки перших двох індексів завдяки симетричності тензора механічних напружень

$c_{iklm}=c_{kilm}$.

Тензор пружності симетричний відносно перестановки останніх двох індексів завдяки симетричності тензора деформації

$c_{iklm}=c_{ikml}$.

Тензор пружності симетричний також відносно переставляння пар індексів

$c_{iklm}=c_{lmik}$.

Таким чином максимальне число незалежних компонентів дорівнює 21.

Симетрія середовища накладає додаткові умови симетрії. Наприклад, для ізотропного середовища кількість незалежних компонентів дорівнює двом: це модуль Юнга й модуль зсуву.

Див. також

Матриця жорсткості