Тензор Вейля

Тензор кривини Вейля — частина тензора кривини Рімана з нульовим слідом. Іншими словами, це тензор, що задовольняє всім властивостям симетрії тензора Рімана з додатковою умовою, що побудований за ним тензор Річчі дорівнює нулю.

Названий на честь Германа Вейля.

Означення

Тензор Вейля можна отримати з тензора кривини, якщо відняти від нього певні комбінації тензора Річчі і скалярної кривини. Формула для тензора Вейля найлегше записується через тензор Рімана в формі тензора валентності (0,4):

W = R - \frac{1}{n - 2} (R i c - \frac{s}{n} g) \circ g - \frac{s}{2 n (n - 1)} g \circ g

де n — розмірність многовида, g — метрика, R — тензор Рімана, Ric — тензор Річчі, s — скалярна кривина, а h O k — так званий добуток Кулкарні - Номідзу , добуток двох симетричних тензорів валентності (0,2) є тензор валентності (0,4), що задовольняє симетрії тензора кривини:

$(h \circ k) (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) =$	$h (v_{1}, v_{3}) k (v_{2}, v_{4}) + h (v_{2}, v_{4}) k (v_{1}, v_{3}) -$
	$- h (v_{1}, v_{4}) k (v_{2}, v_{3}) - h (v_{2}, v_{3}) k (v_{1}, v_{4}) .$

У компонентах, тензор Вейля задається виразом:

W_{a b c d} = R_{a b c d} - \frac{2}{n - 2} (g_{a [c} R_{d] b} - g_{b [c} R_{d] a}) + \frac{2}{(n - 1) (n - 2)} R g_{a [c} g_{d] b}

де $R_{a b c d}$ — тензор Рімана, $R_{a b}$ — тензор Річчі, $R$ — скалярна кривина і [] позначає операцію антісімметрізації.

Джерела

Шаблон:Математика-доробити

Тензор Вейля

Означення

Джерела

Навігаційне меню

Пошук