Різницеве рівняння

Різницеве рівняння — рівняння, що зв'язує значення деякої невідомої функції в будь-якій точці з її значенням в одній або декількох точках, віддалених від даної на певний інтервал. Застосовується для опису дискретних систем.

Приклади

• Найвідоміший приклад — це рекурентне рівняння гамма-функції

  $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\cdot \mathrm{\Gamma }(z).$

Слід пам'ятати, що Гамма-функція - не єдине рішення цього різницевого рівняння. Наприклад, функція $\sin (2\pi z)\cdot \mathrm{\Gamma }(z)$ також задовольняє цьому рівнянню.

Властивості

• Різницеве рівняння можна подати як диференціальне рівняння нескінченного порядку, в силу тотожності

  $F(z+a)=\exp \left(a\frac{d}{dz}\right)F(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^n{F}^{(n)}}{n!}=F(z)+a{F}^{\prime }(z)+\frac{a^2{F}^{″}(z)}{2}\dots .$

Див. також

• Лінійна рекурентна послідовність — розв’язок найпростішого типу різницевого рівняння.
• Різницева схема