Рівняння Абеля (функціональні)

Абелеві рівняння, назвали на честь Нільс Генрік Абель, є типом функціонального рівняння його можна записати у формі

$f(h(x))=h(x+1)$

або, еквівалентно,

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$

і контролює ітерацію   Шаблон:Mvar.

Еквівалентність

Це рівняння еквівалентності. Припускаючи, що Шаблон:Mvar є зворотньою функцією, друге рівняння можна записати як

${\alpha }^{-1}(\alpha (f(x)))={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+1).$

Беручи Шаблон:Math, рівняння можна записати як

$f({\alpha }^{-1}(y))={\alpha }^{-1}(y+1).$

Якщо функція Шаблон:Math вважається відомою, завдання полягає у вирішенні функціонального рівняння для функції Шаблон:Math,що, можливо, задовольняє додаткові вимоги, такі як Шаблон:Math.

Зміна змінних Шаблон:Math, для реального параметра Шаблон:Mvar,призводить рівняння Абеля до знаменитого Рівняння Шредера, Шаблон:Math .

Подальша зміна Шаблон:Math в рівнянні Бьоттчера, Шаблон:Math.

Рівняння Абеля є особливим випадком (і легко узагальнює) рівняння перекладу,

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v),$

e.g., for $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+u)$.     (Observe Шаблон:Math.)