Рівняння Єфименка

В електромагнетизмі рівняння Єфименка, названі на честь Олега Єфименка, описують поведінку електричного та магнітного полів з точки зору розподілу зарядів і струмів у час запізнення.

Рівняння Єфименко є розв'язками рівнянь Максвелла для заданого розподілу зарядів і струмів за умови відсутності електромагнітного поля крім одного, створеного цими ж зарядами та струмами.

Рівняння

Електричні та магнітні поля

Вектори положення $r$ і $r^{\prime }$, використані в обрахунках

Рівняння Єфименка визначають електричне поле $E$ та магнітне поле $B$, створені зарядами та струмами довільного розподілу, при густині заряду $\rho$ та густині струму $J$.

$𝐄(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int [(\frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}^3}+\frac{1}{{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}^{2}c}\frac{\partial \rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{\partial t})(𝐫-{𝐫}^{\prime })-\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|c^2}\frac{\partial 𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{\partial t}]{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime },$

$𝐁(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int [\frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}^3}+\frac{1}{{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}^{2}c}\frac{\partial 𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{\partial t}]\times (𝐫-{𝐫}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime },$

Де $r^{\prime }$ — точка розподілу заряду, $r$ — точка у просторі, та

$t_r=t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$

— час запізнення.

Також існують аналогічні вирази для $D$ та $H$.

Ці рівняння залежать від часу узагальненнями законів Кулона та Біо-Савара в електродинаміці, які перш за все справедливі лише для електростатичних, магнітостатичних полів і постійних струмів.

Походження з запізнілих потенціалів

Рівняння Єфименко можуть бути виведені з запізнілих потенціалів $\varphi$ та $A$:

$\begin{array}{cc}& \phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime },\\ & 𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime },\end{array}$

що є розв'язками рівнянь Максвелла в потенціальній формі, займаючи місце у визначеннях електромагнітних потенціалів самих себе:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t},𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

і використавши співвідношення

$c^2=\frac{1}{{ϵ}_0{\mu }_0}$

заміняє потенціали $\varphi$ та $A$ полями $E$ та $B$.