Рівняння xʸ = yˣ

Хоча операція піднесення до степеня не є комутативною, рівність $x^y=y^x$ виконується для деяких пар $(x,y),$ наприклад, $x=2,y=4.$

Історія

Рівняння $x^y=y^x$ згадано в листі Бернуллі до Гольдбаха (29 червня 1728 року). У листі сказано, що за $x\ne y$ пара $(2,4)$ — єдиний (з точністю до перестановки) розв'язок у натуральних числах, хоча існує безліч розв'язків у раціональних числах. У листі у відповідь Гольдбаха (31 січня 1729) міститься загальний розв'язок рівняння, отриманий заміною $y=vx.$ Аналогічний розв'язок надав Ейлер. І. ван Генгель (J. van Hengel) вказав, що якщо $r,n$ — додатні цілі, $r⩾3$ або $n⩾3,$ то $r^{r+n}>(r+n{)}^r,$ отже, для розв'язання рівняння в натуральних числах достатньо розглянути випадки $x=1$ і $x=2.$

Задачу неодноразово розглянуто в математичній літературі. 1960 року рівняння з'явилося серед завдань на Шаблон:Нп, що підштовхнуло А. Гауснера до розширення результатів на алгебричні поля.

Розв'язки в дійсних числах

Шаблон:Mainref Нескінченну множину тривіальних розв'язків у додатних дійсних числах знаходять як розв'язок рівняння $x=y.$ Нетривіальні розв'язки можна знайти, поклавши $x\ne y,$$y=vx.$ Тоді

$(vx{)}^x=x^{vx}=(x^v{)}^x.$

Піднесення обох частин до степеня $\frac{1}{x}$ із наступним діленням на $x$ дає

$v=x^{v-1}.$

Тоді нетривіальні розв'язки в додатних дійсних числах виражаються як

$x=v^{\frac{1}{v-1}},$

$y=v^{\frac{v}{v-1}}.$

Нетривіальний розв'язок у натуральних числах $4^2=2^4$ можна отримати, поклавши $v=2$ або $v=\frac{1}{2}.$

Розв'язок в термінах W-функції Ламберта

Розв'язок рівняння $y^x=x^y$ можна також виразити через неелементарну W-функцію Ламберта $W(x)$ від змінної $x$:

$y^x=x^y⟺y^{\frac{1}{y}}=x^{\frac{1}{x}}$, зробимо заміну $x=\frac{1}{z}$ :

$y^{\frac{1}{y}}=(\frac{1}{z}{)}^{1÷\frac{1}{z}}⟺(\frac{1}{z}{)}^z=y^{\frac{1}{y}}⟺z^{-z}=y^{\frac{1}{y}}⟺z^z=y^{-\frac{1}{y}}$

Тепер змінну $z$ можна виразити через W-функцію Ламберта: $z=e^{W(\ln (y^{-\frac{1}{y}}\left)\right)}$

Остаточно розв'язок виглядатиме так: $x=e^{-W(\ln (y^{-\frac{1}{y}}\left)\right)}$

Зокрема, через неоднозначність цієї функції, на проміжку $e^{-\frac{1}{e}}⩽y^{-\frac{1}{y}}<1$ або $e^{\frac{1}{e}}⩽y^{\frac{1}{y}}<1$ рівняння матиме два корені $x_1,x_2$.

Який із параметрів ($y$ чи $x$), буде змінною, по суті, не важливо, формула залишиться такою ж.

Якщо при змінній $x$ (або $y$) виконується нерівність $y$ (або $x$)< $e^{\frac{1}{e}}$, то коренів у дійсних числах немає.

Розв'язок у термінах суперкореня другого степеня

Рівняння $y^x=x^y$ є окремим випадком рівняння $y^x=b{x}^n,y,b=const$ при $b=1$ і $n=y$. Підставивши ці значення в загальну формулу розв'язку, легко знайти і розв'язок початкового рівняння:

$y^x=x^y⟺x_{1,2,3}=y{\log }_y\left({}^{\frac{1}{2}}\right(y^{\pm \frac{1}{y\times \sqrt[y]{1}}}){)}^{-1}⟺x_{1,2,3}=-y{\log }_y({}^{\frac{1}{2}}\left(y^{\pm \frac{1}{y}}\right))$

Цей розв'язок повніший, оскільки дозволяє отримати від'ємні дійсні корені, якщо вони існують (бо логарифм, на відміну від експоненти в попередньому розв'язку, може бути меншим за нуль). Існування третього кореня пояснюється еквівалентністю рівнянь $y^x=x^y$ і $y^x=(-x{)}^y$ при парному $y$, однак, на практиці, існує тільки, максимум, два дійсних корені (третій корінь у формулі обов'язково сторонній) через те, що функція суперкореня другого степеня $f(z)={}^{\frac{1}{2}}z$ обернена до описаної вище функції $f(z)=z^z$ (інакше $f(z)={}^{2}z$), яка виражається через W-функцію Ламберта, яка, у свою чергу, набувати більше двох дійсних значень не може.

З цього розв'язку випливає тотожна рівність: $-y{\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=\frac{1}{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}$. Це легко довести, прирівнявши обидва описані вище розв'язки один до одного:

$-y{\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=\frac{1}{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}⟺{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}}){\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y}$, далі відповідно до властивостей логарифма та суперкореня другого степеня:

${\log }_y({}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}}){)}^{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}=-\frac{1}{y}⟺{\log }_y(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y}$ . Доведена тотожність є часткою від загальнішого випадку при $b=-y$.

Посилання

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:OEIS: Десятковий розклад -x, де x — від'ємний розв'язок рівняння 2^x = x²