Розшарування Гопфа

Розшарування Гопфа графічно представлено як узагальнена стереографічна проєкція $S^3$ на ${ℝ}^3$. Рисунок показує однаковим кольором точки на $S^2$ (праворуч) і відповідні їм шари-кола на стереографічній проєкції $S^3$ (ліворуч).

Розшарування Гопфа — приклад локально тривіального розшарування тривимірної сфери над двовимірною з шаром-колом:

$S^1\hookrightarrow S^3\stackrel{p}{\to }{S}^2$.

Розшарування Гопфа не є тривіальним. Є також важливим прикладом головного розшарування.

Одним з найпростіших способів завдання цього розшарування є представлення тривимірної сфери $S^3$ як одиничної сфери в ${ℂ}^2$, а двовимірної сфери $S^2$ як комплексної проєктивної прямої $ℂP^1$. Тоді відображення:

$p:(z_1,z_2)\mapsto (z_1:z_2)$

і задає розшарування Гопфа. При цьому шарами розшарування будуть орбіти вільної дії групи $S^1$:

$\theta :(z_1,z_2)\mapsto (\theta z_1,\theta z_2)$,

де коло представлена як множина одиничних за модулем комплексних чисел:

$S^1=\{\theta \mid \theta \in ℂ,|\theta |=1\}$.

Посилання

• Відео-демонстрація відображення Гопфа на сайті Dimensions-math, глави 7 і 8 Шаблон:Webarchive
• Пояснення до демонстрації відображення Гопфа на сайті Dimensions-math Шаблон:Webarchive
• Відображення Гопфа на сайті Mathworld Шаблон:Webarchive