Радикал (теорія кілець)

В абстрактній алгебрі радикалом ідеалу $I$ в комутативному кільці $R$, називається множина:

$\sqrt{I}=\{f\in R:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}{f}^n\in I\}$.

Ідеал, що збігається зі своїм радикалом має назву радикальний ідеал.

Властивості

• Радикал ідеалу теж є ідеалом.

Нехай $P$ деяке комутативне кільце, a $x,y\in P$ два елементи, що належать радикалу ідеалу $I$. Нехай $m,n\in \mathbb{N}$ такі, що $x^m=0$ та $y^n=0$. З комутативності $x$ і $y$ можна використати формулу бінома Ньютона для $(x+y{)}^{m+n}$:

$(x+y{)}^{m+n}=\sum _{k=0}^{m+n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})x^k{y}^{m+n-k}$

При $0⩽k<m$ маємо $m+n-k>n$, тоді $y^{m+n-k}\in I$ і доданки, що відповідають тим індексам $k$ рівні нулю. Однак при $k⩾m$, одержується $x^k=0$. Тобто всі доданки належать $I$ і, зважаючи на замкнутість ідеалів щодо додавання, $x+y$ є елементом радикалу $\sqrt{I}$.

Далі якщо $r\in R$ — деякий елемент кільця і $a\in \sqrt{I}$ — елемент радикалу такий, що $a^n=0$, тоді $(ar{)}^n=a^n{r}^n=0$ тобто $ar\in \sqrt{I}$, що доводить твердження.

• Радикал ідеалу $I$ рівний перетину всіх простих ідеалів, що містять $I$.(Див. статтю Простий ідеал).

Приклади

Нехай $\mathbb{Z}$ — кільце цілих чисел.

1. Радикал $4\mathbb{Z}$ чисел, що діляться на 4 рівний $2\mathbb{Z}$.
2. Радикал $5\mathbb{Z}$ рівний $5\mathbb{Z}$.
3. Радикал $12\mathbb{Z}$ рівний $6\mathbb{Z}$.

Література

• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.