Псевдосфера

Напів-псевдосфера

Псевдосфера (від «псевдо»… і грецького — куля) — поверхня сталої від'ємної кривини. Утворена обертанням трактриси навколо її асимптоти. Для достатньо малих частин псевдосфери, які не мають особливих точок, справедливими є співвідношення гіперболічної геометрії. Це відкриття Еудженіо Бельтрамі у 1868 відіграло важливу роль у розвитку неевклідових геометрій, бо дало змогу переконатись у реальності гіперболічної геометрії. Назва несправжня сфера підкреслює схожість і відмінність між псевдосферою і сферою — у сфери поверхня має сталу додатну кривину.

Теоретична псевдосфера

У загальній інтерпретації, псевдосфера радіусу R — це будь-яка поверхня кривини −1/R², за аналогією зі сферою радіусу R, для якої поверхня кривини є 1/R².

Термін був запропонований Еудженіо Бельтрамі у його праці 1868 року про моделі гіперболічної геометрії.

Псевдосфера в природі

Квітка білої кали

Форму псевдосфери мають деякі квіти, наприклад кали.

Зорові рецептори ока розташовані нерівномірно, у деяких випадках зручною моделлю є сітківка у формі псевдосфери (з рівномірним розподілом рецепторів).

Структури у формі псевдосфер утворюються в деяких природних породах, наприклад в глині

Трактрисоїд

Трактрисоїд

Термін також використовують до певної поверхні, яка має назву трактрисоїд і є результатом обертання трактриси довкола її асимптоти. Наприклад, напів-псевдосфера (з радіусом 1) є поверхнею обертання трактриси, обмеженої параметрами:

$t\mapsto (t-\tanh t,\mathrm{sech}t),0\le t<\mathrm{\infty }.$

Ще 1693 року Християн Гюйгенс з'ясував, що об'єм та площа поверхні псевдосфери є скінченними, незважаючи на нескінченність протяжності поверхні вздовж осі обертання. Для заданого радіусу R, площа поверхні буде 4πR², так само як і для сфери, а об'єм дорівнює Шаблон:MathπR³, тобто половині сфери з таким самим радіусом.

Див. також

• Око циклону

Джерела

• Шаблон:УРЕ

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр