Проєктивна границя

Шаблон:Значення Проєктивна границя (обернена границя) — конструкція, що використовується в різних розділах математики яка дозволяє побудувати новий об'єкт $X$ через множину однотипних об'єктів $X_i,$ які є проіндексовані деякою напрямленою множиною і набору відображень $f_{ij}:X_j\to X_i$, $i⩽j$. Проєктивні границі є одним із видів границі в теорії категорій. Для проєктивної границі зазвичай використовуються наступні позначення:

$X=\underleftarrow{\lim }{X}_i$,

$X=\mathrm{proj\; lim}{X}_i$.

Проєктивну границю можна визначити в довільній категорії. Двоїсте поняття — індуктивна границя.

Означення

Алгебричні структури

Для алгебричних систем можна дати відносно просте означення проєктивної границі. Нехай $I$ — частково впорядкована множина $⩽$ (наприклад, множина цілих чисел) і для кожного елемента $i\in I$ задана деяка алгебрична система $X_i$ з будь-якого фіксованого класу (наприклад, абелевих груп, модулів над заданим кільцем), а кожній парі $(i,j)$, такій що $i,j\in I$, $i⩽j$ — гомоморфізм $f_{ij}:X_j\to X_i$, причому $f_{ii}$ — тотожні відображення для будь-якого $i\in I$ і $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$ для будь-яких $i⩽j⩽k$ з $I$. Тоді проєктивна границя $X$ є за означенням підсистемою прямого добутку $X_i$ виду:

$\underleftarrow{\lim }{X}_i=\{(x_i)\in \prod _{i\in I}{X}_i\mid x_i=f_{ij}(x_j)\mathrm{\forall }i⩽j\}$.

Існують канонічні проєкції ${\pi }_i:X\to X_i$, які вибирають $i$-у компоненту прямого добутку для кожного $i\in I$. Ці проєкції повинні бути гомоморфізмами, виходячи з цього можна ввести додаткову алгебричну структуру на проєктивній границі.

Загальний випадок

У довільній категорії проєктивну границю можна описати за допомогою її універсальної властивості. Нехай $(X_i,f_{ij})$ — сімейство об'єктів і морфізмів категорії C, яке задовольняє тим же вимогам, що і в попередньому пункті. Тоді $X$ називається проєктивною границею системи $(X_i,f_{ij})$, або $X=\underleftarrow{\lim }{X}_i$, якщо виконані наступні умови:

1. Існує таке сімейство відображень ${\pi }_i:X\to X_i$, що ${\pi }_i=f_{ij}\circ {\pi }_j$ для будь-яких $i⩽j$;
2. Для будь-якого сімейства відображень ${\psi }_i:Y\to X_i$, довільної множини $Y$, для якої виконані рівності ${\psi }_i=f_{ij}\circ {\psi }_j$ для будь-яких $i⩽j$, існує єдине відображення $u:Y\to X$, для якого ${\psi }_i={\pi }_i\circ u$ , для всіх $i\in I$.

Більш загально, проєктивна границя — границя в категорному сенсі системи $(X_i,f_{ij})$.

Приклади

• Цілі $p$-адичні числа є проєктивною границею послідовності ${\mathbb{Z}}_{p^n}$ з природними відображеннями виду отримання залишку ${\mathbb{Z}}_{p^n}\to {\mathbb{Z}}_{p^m}$ при $n⩾m$.
• Кільце $R[[t]]$ формальних степеневих рядів над комутативним кільцем $R$ є проєктивною границею кілець $R[t]/t^{n}R[t]$, індексованих натуральними числами, з природними проєкціями $R[t]/t^{n+j}R[t]\to R[t]/t^{n}R[t]$.
• Множина Кантора є гомеоморфною проєктивній границі добутків двоточкових множин (з дискретною топологією) з проєкціями на перші кілька координат як відображень.
• В категорії топологічних просторів проєктивні границі задаються ініціальною топологією на відповідній множині-носії.

Див. також

• Індуктивна границя
• Залишково скінченна група

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г4-8