Простір станів (теорія керування)

Простір станів — у теорії керування один з основних методів опису поведінки динамічної системи. Рух системи в просторі станів відбиває зміну її станів.

Визначення

Простір станів зазвичай називають фазовим простором динамічної системи, а траєкторію руху, що зображає точки в цьому просторі — фазовою траєкторією.

У просторі станів створюється модель динамічної системи, що включає набір змінних входу, виходу і стану, пов'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричній формі. На відміну від опису у вигляді передавальної функції та інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами і нульовими початковими умовами. Крім того, в просторі станів відносно просто працювати з MIMO-системами.

Лінійні неперервні системи

Структурна схема неперервної лінійної системи, описаної у вигляді змінних стану

Для випадку лінійної системи з $p$ входами, $q$ виходами і $n$ змінними стану опис має вигляд:

$\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)+B(t)𝐮(t)$

$𝐲(t)=C(t)𝐱(t)+D(t)𝐮(t)$

де

$x(t)\in {ℝ}^n$ ; $y(t)\in {ℝ}^q$ ; $u(t)\in {ℝ}^p$ ;

$\dim [A(\cdot )]=n\times n$, $\dim [B(\cdot )]=n\times p$, $\dim [C(\cdot )]=q\times n$, $\dim [D(\cdot )]=q\times p$, $\dot{𝐱}(t):=\frac{d𝐱(t)}{dt}$ :

$x(\cdot )$ — вектор стану, елементи якого називають станами системи

$y(\cdot )$ — вектор виходу,

$u(\cdot )$ — вектор керування,

$A(\cdot )$ — матриця системи,

$B(\cdot )$ — матриця керування,

$C(\cdot )$ — матриця виходу,

$D(\cdot )$ — матриця прямого зв'язку.

Часто матриця $D(\cdot )$ є нульовою, це означає, що в системі немає явного прямого зв'язку .

Дискретні системи

Для дискретних систем запис рівнянь у просторі ґрунтується не на диференціальних, а на різницевих рівняннях:

$𝐱(nT+T)=A(nT)𝐱(nT)+B(nT)𝐮(nT)$

$𝐲(nT)=C(nT)𝐱(nT)+D(nT)𝐮(nT)$

Нелінійні системи

Нелінійну динамічну систему n-го порядку можна описати у вигляді системи з n рівнянь 1-го порядку:

${\dot{x}}_1=f_1(x_1(t);\dots ,x_n(t),u_1(t),\dots ,u_m(t))$

$⋮$

${\dot{x}}_n=f_n(x_1(t);\dots ,x_n(t),u_1(t),\dots ,u_m(t))$

або в компактнішій формі:

$\dot{𝐱}(t)=𝐟(t,𝐱(t),𝐮(t))$

$𝐲(t)=𝐡(t,𝐱(t),𝐮(t))$.

Перше рівняння — це рівняння стану, друге — рівняння виходу.

Лінеаризація

У деяких випадках можлива лінеаризація опису динамічної системи для околу робочої точки $(\widetilde{𝐱},\widetilde{𝐮})$ . У сталому режимі $(\widetilde{𝐮}=const)$ для робочої точки $\widetilde{𝐱}=const,$ справедливий такий вираз:

$\dot{𝐱}=𝐟(\widetilde{𝐱},\widetilde{𝐮})=\mathrm{𝟎}$

Вводячи позначення:

$\delta 𝐮=𝐮-\widetilde{𝐮}$

$\delta 𝐱=𝐱-\widetilde{𝐱}$

Розклад рівняння стану $𝐟(𝐱(t),𝐮(t))$ в ряд Тейлора, обмежений першими двома членами дає такий вираз:

$𝐟(𝐱(t),𝐮(t))\approx 𝐟(\widetilde{𝐱}(t),\widetilde{𝐮}(t))+\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐱}\delta 𝐱+\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐮}\delta 𝐮$

При взятті часткових похідних вектор-функції $𝐟$ за вектором змінних станів $𝐱$ і вектором вхідних впливів $𝐮$ виходять матриці Якобі відповідних систем функцій:

$\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐱}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\delta {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐱}_{𝐧}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta {𝐟}_{𝐧}}{\delta {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐟}_{𝐧}}{\delta {𝐱}_{𝐧}}\end{array}\right]\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐮}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\delta {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐟}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐮}_{𝐩}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta {𝐟}_{𝐧}}{\delta {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐟}_{𝐧}}{\delta {𝐮}_{𝐩}}\end{array}\right]$ .

Аналогічно для функції виходу:

$\frac{\delta 𝐡}{\delta 𝐱}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\delta {𝐡}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐡}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐱}_{𝐧}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta {𝐡}_{𝐪}}{\delta {𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐡}_{𝐪}}{\delta {𝐱}_{𝐧}}\end{array}\right]\frac{\delta 𝐡}{\delta 𝐮}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\delta {𝐡}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐡}_{\mathrm{𝟏}}}{\delta {𝐮}_{𝐩}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta {𝐡}_{𝐪}}{\delta {𝐮}_{\mathrm{𝟏}}}& \cdots & \frac{\delta {𝐡}_{𝐪}}{\delta {𝐮}_{𝐩}}\end{array}\right]$

З огляду на $\delta \dot{𝐱}=\dot{𝐱}-\dot{\widetilde{𝐱}}=\dot{𝐱}$, лінеаризований опис динамічної системи в околі робочої точки набуде вигляду: де

$𝐀=\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐱}𝐁=\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐮}𝐂=\frac{\delta 𝐡}{\delta 𝐱}𝐃=\frac{\delta 𝐡}{\delta 𝐮}$ .

Приклади

Модель у просторі станів для маятника

Маятник є класичною вільною нелінійною системою. Математично рух маятника описує таке співвідношення:

$ml\ddot{\theta }(t)=-mg\sin \theta (t)-kl\dot{\theta }(t)$

де

• $\theta (t)$ — кут відхилення маятника.
• $m$ — зведена маса маятника
• $g$ — прискорення вільного падіння
• $k$ — коефіцієнт тертя в підшипнику підвісу
• $l$ — довжина підвісу маятника

У такому випадку рівняння в просторі станів матимуть вигляд:

$\dot{x_1}(t)=x_2(t)$

$\dot{x_2}(t)=-\frac{g}{l}\sin x_1(t)-\frac{k}{m}{x}_2(t)$

де

• $x_1(t):=\theta (t)$ — кут відхилення маятника
• $x_2(t):=\dot{x_1}(t)$ — кутова швидкість маятника
• $\dot{x_2}(t):=\ddot{x_1}(t)$ — кутове прискорення маятника

Запис рівнянь стану в загальному вигляді:

$\dot{𝐱}(t)=\left(\begin{array}{c}\dot{x_1}(t)\\ \dot{x_2}(t)\end{array}\right)=𝐟(t,x(t))=\left(\begin{array}{c}{x}_2(t)\\ -\frac{g}{l}\sin x_1(t)-\frac{k}{m}{x}_2(t)\end{array}\right)$ .

Лінеаризація моделі маятника

Лінеаризована матриця системи для моделі маятника в околі точки рівноваги $({\tilde{x}}_1=0)$ має вигляд:

$\frac{\delta 𝐟}{\delta 𝐱}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{g}{l}\cos {\tilde{x}}_1& -\frac{k}{m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{g}{l}& -\frac{k}{m}\end{array}\right)$

За відсутності тертя в підвісі Шаблон:Math отримаємо рівняння руху математичного маятника:

$\ddot{x}=-\frac{g}{l}x$

Див. також

• Теорія керування
• Фазовий простір
• Критерій стійкості в просторі станів
• Простір понять
• Система відліку
• Модальне керування

Література

• книги

• статті

Посилання

• Вихідні диференціальні рівняння САР Шаблон:Ref-ru