Простий елемент

У комутативній алгебрі термін простий елемент є узагальненням поняття простого числа для довільного комутативного кільця з одиницею.

Визначення

Елемент $c$ комутативного кільця з одиницею $(R, +, \cdot, 0, 1)$ називається простим, якщо $c$ не є рівним 0, не є оборотним і якщо для довільних елементів $a, b \in R$ з того що $c$ ділить добуток $a \cdot b$ випливає, що $c$ ділить також хоча б один з елементів $a$ або $b$ .

Властивості

Якщо $c$ є простим елементом і $e$ є оборотним елементом, то добуток $c \cdot e$ теж є простим елементом.
Для елемента $c \neq 0$ породжений ним ідеал $(c)$ є простим тоді і тільки тоді, коли $c$ є простим елементом.
Якщо кільце є областю цілісності, то будь-який простий елемент є незвідним:

Припустимо, що

p

є простим елементом і існує розклад на добуток елементів

p = a b .

Тоді

p | a b \Rightarrow p | a

або

p | b .

Нехай

p | a \Rightarrow a = p c,

тоді

p = a b = p c b \Rightarrow p (1 - c b) = 0 .

Оскільки

R

є областю цілісності то

c b = 1 .

Тож

b

є оборотним елементом і

p

є незвідним.

Для довільного комутативного кільця це твердження не є правильним (див. приклади).

Навпаки для області цілісності незвідні елементи можуть не бути простими. Але, наприклад, у факторіальному кільці кожен незвідний елемент є простим і довільний елемент кільця розкладається на добуток простих елементів і цей розклад є єдиним з точністю до перестановки множників і до множень на оборотні елементи.

Приклади

Оскільки для поля всі ненульові елементи є оборотними, то у полі немає простих елементів.
Для кільця цілих чисел простими елементами е прості числа (2, 3, 5, 7, 11, …).
Простими елементами в кільці гаусових чисел $ℤ [i]$ є добуток $\pm 1, \pm i$ і простих чисел виду $4 k + 3, k \in ℤ$ , а також числа $a + b \cdot i, a, b \in ℤ$ , для яких $a^{2} + b^{2}$ є простим числом, зокрема $3, 7, 11, 1 + i, 2 + 3 i$ Числа $2 = (1 + i) \cdot (1 - i)$ , $5 = (2 + i) \cdot (2 - i)$ і $3 + i = (1 + i) \cdot (2 - i)$ не є простими.
Область цілісності $ℤ [i \sqrt{5}]$ (множина чисел виду $a + b \cdot i \sqrt{5}$ де $a, b \in ℤ$ разом із звичайними операціями комплексних чисел) не є факторіальним кільцем і є прикладом області цілісності в якій є незвідні але не прості елементи. Зокрема $2 | (1 + i \sqrt{5}) \cdot (1 - i \sqrt{5}) = 6$ проте 2 не ділить жодне з чисел $1 + i \sqrt{5}, 1 - i \sqrt{5}$ . В іншому випадку норма числа 2 $N (2) = 4$ ділила б норму котрогось з цих чисел. Але $N (1 + i \sqrt{5}) = N (1 - i \sqrt{5}) = 6 .$ Тож 2 не є простим елементом у цьому кільці. Натомість 2 є незвідним елементом. В іншому разі його необоротний дільник $a + b \cdot i \sqrt{5}$ мав би задовольнять рівність $a^{2} + 5 b^{2} = 2,$ що неможливо.
В кільці $ℤ / 6 ℤ,$ що не є областю цілісності елементи 2, 3 є простими але $2 = 2 \cdot 4, 3 = 3 \cdot 3,$ тож вони не є незвідними.

Див. також

Джерела

Простий елемент

Зміст

Визначення

Властивості

Приклади

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Простий елемент

Визначення

Властивості

Приклади

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук