Приклад Бернштейна

Приклад Бернштейна показує що попарна незалежність подій ще не означає їх незалежність в сукупності.

Підкидається правильний тетраедр, три грані якого пофарбовано відповідно в червоний, синій і зелений кольори, а в розфарбуванні четвертої грані є всі три кольори. Події R (червоний), G (зелений), B(синій) означають, що в розфарбуванні грані, яка стикається з поверхнею, є відповідні кольори. Перевірити, що події R,G,B попарно незалежні, але не незалежні в сукупності.

Розв'язання

Оскільки тетраедр правильний, то беремо класичну модель, за якої ймовірності випадання кожної грані є рівними й дорівнюють $\frac{1}{4}$.

Кожен колір наявний на двох гранях з чотирьох, тому $P(R)=P(G)=P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Два і більше кольорів наявні в розфарбуванні лише однієї грані з чотирьох, тому

$P(R\cap G)=P(G\cap B)=P(B\cap R)=\frac{1}{4}$.

Звідси,

$P(R\cap G)=P(R)P(G),P(G\cap B)=P(G)P(B),P(B\cap R)=P(B)P(R)$.

Тому, події R,G,B – попарно незалежні за означенням. Але

$P(R\cap G\cap B)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=P(R)P(G)P(B)$

що означає, що вони не є незалежними в сукупності.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Cite book