Правильний тетраедр

Тетраедр, натисніть тут для обертання моделі

Файл:Tetrahedron.stl

Пра́вильний тетра́едр — чотиригранник, усі грані якого — рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.

Декартові координати

Правильний тетраедр можна задати координатами його вершин

• (1, 1, 1)
• (-1, −1, 1)
• (-1, 1, −1)
• (1, −1, −1)

Довжина ребра в цьому випадку становитиме $2\sqrt{2}$.

Формули

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:

• площа поверхні

$\sqrt{3}{a}^2$Шаблон:Sfn

• об'єм

$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$Шаблон:Sfn

• висота

$\sqrt{\frac{2}{3}}a$

• радіус вписаної сфери

$\frac{\sqrt{6}}{12}a$Шаблон:Sfn

• радіус описаної сфери

$\frac{\sqrt{6}}{4}a$Шаблон:Sfn

• Радіус напіввписаної сфери

$\frac{\sqrt{2}}{4}a$Шаблон:Sfn

• кут нахилу ребра

$\arctan \sqrt{2}\approx \frac{7}{23}\pi$

• кут нахилу грані

$\arctan 2\sqrt{2}\approx \frac{29}{74}\pi$

• група симетрій — тетраедрична (T_h)

Властивості правильного тетраедра

• У правильний тетраедр можна вписати октаедр, причому чотири (з восьми) грані октаедра будуть суміщені з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести ребер тетраедра.
• Правильний тетраедр із ребром х складається з одного вписаного октаедра (у центрі) з ребром х/2 і чотирьох тетраедрів (у вершинах) із ребром х/2.
• Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, причому чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
• Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, причому, чотири вершини тетраедра будуть суміщені з чотирма вершинами ікосаедра.

У фізичному світі

• Крижані кристали H₂O
• Молекула метану CH₄
• Алмаз, C, — тетраедр із ребром рівним 2,5220 Å
• Флюорит CaF₂, тетраедр із ребром рівним 3,8626 Å
• Сфалерит, ZnS, тетраедр із ребром рівним 3,823 Å

Див. також

• http://geom11klas.blogspot.com/2014/07/blog-post_8356.html

Література

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Книга