Поліноми Лаґерра

Поліноми Лаґерра — ортогональні поліноми, названі на честь французького математика Едмона Лаґерра.

Визначення

Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння

$x{y}^{″}+(1-x)y^{\prime }+ny=0$

що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n. Для даних поліномів справедлива також явна формула Родрігеса:

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(e^{-x}{x}^n\right).$

Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:

$L_0(x)=1$

$L_1(x)=1-x$

і визначити наступні поліноми за допомогою формули:

$L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}((2k+1-x)L_k(x)-k{L}_{k-1}(x)).$

Приклади

Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:

n	$L_n(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	$\frac{1}{2}(x^2-4x+2)$
3	$\frac{1}{6}(-x^3+9x^2-18x+6)$
4	$\frac{1}{24}(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)$
5	$\frac{1}{120}(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)$
6	$\frac{1}{720}(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)$

Графіки поліномів Лаґерра.

Узагальнені поліноми Лаґерра

Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{\alpha }{e}^{-x}/\mathrm{\Gamma }(1+\alpha )& \text{if}x>0,\\ 0& \text{if}x<0,\end{array}$

Тоді звичайні поліноми Лаґерра є окремим випадком:

$E[L_n(X)L_m(X)]=0\text{whenever}n\ne m.$

Узагальнений поліном Леґерра степеня $n$ також можна визначити за допомогою формули $L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-i})\frac{x^i}{i!}$

Також виконуються рекурентні співвідношення:

$L_n^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y),$

Зокрема

$L_n^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^n{L}_i^{(\alpha )}(x)$ і $L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta +n-i-1}{n-i})L_i^{(\beta )}(x)$, або $L_n^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -\beta +n}{n-i})L_i^{(\beta -i)}(x);$

Приклади

Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:

$L_0^{(\alpha )}(x)=1$

$L_1^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1$

$L_2^{(\alpha )}(x)=\frac{x^2}{2}-(\alpha +2)x+\frac{(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}$

$L_3^{(\alpha )}(x)=\frac{-x^3}{6}+\frac{(\alpha +3)x^2}{2}-\frac{(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}+\frac{(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}$

Ортогональність

Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з вагою x^α e ^−x:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}{L}_n^{(\alpha )}(x)L_m^{(\alpha )}(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{n!}{\delta }_{n,m},$

Для звичайних поліномів Лаґерра виконується рівність:

$⟨f,g⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)e^{-x}dx.$

Література

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
• Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial Шаблон:Webarchive", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Шаблон:Cite book
• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.