Позіном

Позіном — це розширене поняття полінома, як суми мономів, за допомогою розширення поняття моном. З властивостей таких узагальнених мономів випливає обмеження області визначення функції, що задається позіномом, на строго додатні значення.

Визначення

Позіном — узагальнений поліном виду:

$g(x)=\sum _{i=1}^n{u}_i(x)=\sum _{i=1}^n{c}_i\prod _{j=1}^m{x_j}^{a_{ij}},x_j>0,c_i>0,a_{ij}\in ℝ.$ Шаблон:Sfn,

де $u_i(x),i=\overline{1,n}$ — мономи.

Наприклад

$g(x)=0.25x^4+x^{-1.5}+2x^9.$

Властивості

• якщо $g(x)$ — позіном, $\lambda >0$ — константа, то $\lambda g(x)$ — позіном,
• якщо $f(x),g(x)$ — позіноми, то $f(x)+g(x)$ — також позіном,
• якщо $f(x),g(x)$ — позіноми, то $f(x)g(x)$ — також позіном.

Таким чином, безліч позіномов є, як і безліч поліномів, кільцем.

Оскільки мономи — окремий випадок позіномів, безліч позіномів є, також, алгеброю над кільцем поліномів.

• якщо $g(x)$ — позіном, $u(x)$ — моном, то $g(x)/u(x)$ — позіном,
• якщо $g(x)$ — позіном, то ${g(x)}^k(k>0,$ ціле$)$ — позіном.

Додатки

Позіноми є базовим поняттям в геометричному програмуванні. За допомогою позіномів описуються і вирішуються завдання з широкого кола математичних проблем, зокрема до нього належать: оптимальне планування, оптимальне управління, економічні завдання і розрахунок ризиків, кодування та інші.