Подібність (геометрія)

Подібність — перетворення евклідового простору, при якому для будь-яких двох точок $A$, $B$ та їх образів $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ має місце співвідношення $|A^{\prime }{B}^{\prime }|=k|AB|$, де $k$ — додатне число, яке називають коефіцієнтом подібності.

Приклади

• Кожна гомотетія є подібністю.
• Кожний рух (в тому числі і тотожний) також можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом $k=1$.

Подібні фігури мають однакові кольори.

Зв'язані визначення

• Фігура $F$ називається подібною до фігури $F^{\prime }$, якщо існує перетворення подібності, при якому $F\to F^{\prime }$.
  • Подібність фігур є відношенням еквівалентності.

Властивості

• Подібність є взаємно однозначне перетворення евклідового простору на себе.
• Подібність зберігає порядок точок на прямій, тобто якщо точка $B$ лежить між $A$, $C$ і $B^{\prime }$, $A^{\prime }$, $C^{\prime }$ — відповідні їх образи при деякому перетворенні подібності, тоді $B^{\prime }$ також лежить між точками $A^{\prime }$ і $C^{\prime }$.
• Точки, що не лежать на прямій, переходять в точки, що не лежать на прямій.
• Подібність перетворює пряму в пряму, відрізок у відрізок, промінь в промінь, кут в кут, коло в коло.
• При подібності кут зберігає величину.
• Подібність з коефіцієнтом $k=1$, яка перетворює пряму в паралельну їй пряму, є гомотетією з коєфіцієнтом $k$ або $-k$.
  • Кожну подібність можна розглядати як композицію руху $D$ і деякої гомотетії $\mathrm{\Gamma }$ з додатним коефіцієнтом.
  • Подібність називається власною (невласною), якщо рух $D$ є власним (невласним). Власна подібність зберігає орієнтацію фігур, а невласна — змінює орієнтацію на протилежну.
• Два трикутники є подібними, якщо
  • їх відповідні кути однакові
  • сторони пропорційні (див. подібність трикутників).
• Площі подібних фігур пропорційні квадратам їх схожих ліній (наприклад, сторін). Так, площі кіл пропорційні відношенню квадратів їх діаметрів (або радіусів).

Узагальнення

Аналогічно визначається подібність (зі збереженням вказаних вище властивостей) в 3-вимірному евклідовому просторі, а також в $n$-вимірному евклідовому та псевдо-евклідовому просторі.