Повна похідна

Повна похідна функції — похідна функції по часу вздовж траєкторії. Нехай функція має вигляд $f(t,u,v,\dots ,z)$ і її аргументи залежать від часу: $u=u(t,x_1,\dots ,x_n),v=v(t,x_1,\dots ,x_n),\dots ,z=z(t,x_1,\dots ,x_n)$. Тоді $f(t,u,v,\dots ,z)=g(t,x_1,\dots ,x_n)$, де $x_1,\dots ,x_n$ — параметри, що задають траєкторію. Повна похідна функції $f$ (у точці $(t,u,v,\dots ,z)$) у такому випадку дорівнює частковій похідній $g$ по часу (у відповідній точці $(t,x_1,\dots ,x_n)$) і обчислюється за формулою:

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}+\dots +\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}$,

де $\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial u},\dots ,\frac{\partial f}{\partial z},\frac{\partial u}{\partial t},\dots ,\frac{\partial z}{\partial t}$ — часткові похідні. Варто зазначити, що позначення $\frac{df}{dt}$ є умовним і не стосується операції ділення диференціалів. Окрім цього, повна похідна функції залежить не лише від самої функції, але й від траєкторії.

Наприклад, повна похідна функції $f(x(t),y(t))$:

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

Тут немає $\frac{\partial f}{\partial t}$, оскільки $f$ сама («явно») не залежить від $t$.

Оператор \ Функція	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Диференціал	1: $\mathrm{d}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$	2: ${\mathrm{d}}_{x}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$ 3: $\mathrm{d}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x+f{\text{'}}_y\mathrm{d}y+f{\text{'}}_u\mathrm{d}u+f{\text{'}}_v\mathrm{d}v$
Часткова похідна	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}}{=}\frac{{\mathrm{d}}_{x}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}$
Повна похідна	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x$	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x+f{\text{'}}_u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+f{\text{'}}_v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x};(f{\text{'}}_y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0)$

Див. також

• Часткова похідна
• Конвективна похідна
• Похідна Лагранжа

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Повна похідна на WolframMathWorld