Переріз Дедекінда

Переріз Дедекінда — це конструкція з математичного аналізу, запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел.

Визначення

Переріз Дедекінда — це розбиття множини усіх раціональних чисел $\mathbb{Q}$ на дві непорожні підмножини A та B із властивостями, що A не має найбільшого елемента і будь-яке число з множини A менше від будь-кого числа з множини B. Множина A називається нижнім класом перерізу, а множина B — верхнім класом перерізу.

Будь-яке раціональне число x призводить до переріза Дедекінда, у якому

$A=\{a\in \mathbb{Q}:a<x\},B=\{b\in \mathbb{Q}:b\ge x\}.$

Оскільки множина B повністю визначена множиною A, а саме, B = Q\A, визначення переріза Дедекінда часто надається в термінах нижнього класу. Таким чином, переріз Дедекінда — це множина A раціональних чисел із властивостями:

• A непорожня, $A\ne \mathrm{\varnothing };$
• А не становить всю множину раціональних чисел, $A\ne \mathbb{Q};$
• А замкнута знизу, тобто якщо $a\in A$ та $c<a,$ то $c\in A;$
• А не має найбільшого елемента, тобто для будь-якого $a\in A$ знайдеться $c\in A,c>a.$

Перерізи Дедекінда утворюють множину R, на якій можуть бути визначені операції додавання та множення, а також поняття порядку. Таким чином множина R перетворюється на упорядковане поле дійсних чисел. Якщо у верхньому класі є найменше число, то такий переріз відповідає раціональному числу, у супротивному випадку — ірраціональному числу.

Приклади

Дійсному числу $\sqrt{2}$ відповідає наступний дедекіндовий переріз: $A=\{a\in \mathbb{Q}:a⩽0\vee a^2<2\}$ та $B=\{b\in \mathbb{Q}:b>0\wedge b^2⩾2\}$. Інтуїтивно можна представити, що для визначення $\sqrt{2}$, ми розділили множину раціональних чисел на дві частини: всі числа, що лівіше $\sqrt{2}$, та всі числа, що правіше $\sqrt{2}$; тобто, $\sqrt{2}$ є точною нижньою гранню множини $B.$

Див. також

• Аксіома Дедекінда

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию