Параметри Твіса

Параметри Твісса (параметри Коурана-Снайдера) — це параметри, що використовуються у фізиці прискорювачів для характеристики якості пучка. Вони природно виникають при розв'язку рівняння Гілла:

$\frac{d^{2}u}{d{s}^2}+K(s)u=0$

тут s- орбіта референсної частинки (та, від якої відраховується положення всіх інших частинок в пучку), а K(s) — параметр сили магнітного поля. Рух в такому разі є рухом псевдогармонічного осцилятора зі змінною частотою і амплітудою (бетатронні осциляції). Застосовуючи теорію Флоке до розв'язку даного рівняння, будемо шукати розв'язок на кшталт:

$u(s)=\sqrt{ϵ\beta (s)}cos(\varphi (s))$

У такому разі отримаємо 2 рівняння:

$\frac{1}{2}\beta {\beta }^{″}-\frac{1}{4}\beta {\text{'}}^2+{\beta }^{2}K=1$

та $\beta {\varphi }^{\prime }=1$

Означимо:

$\alpha =-\frac{{\beta }^{\prime }}{2}$;

$\gamma =\frac{1+{\alpha }^2}{\beta }$

Тоді рівняння перепишеться у вигляді

${\beta }^{″}+2K\beta -2\gamma =0$

Звідси можна отримати параметри Твіса (3 незалежні і 1 залежний):

• $\alpha$ — відноситься до нахилу пучка,
• $\beta$ — відноситься до форми і розміру пучка (бета функція),
• $ϵ$ — відноситься до розміру пучка (емітанс),
• $\gamma$ — залежить від $\alpha$ і $\beta$.

Використовуючи вирази $u,u^{\prime }$, можна отримати рівняння еліпса

$ϵ=\gamma u^2+2\alpha u{u}^{\prime }+\beta u{\text{'}}^2$

Площа еліпса:

$\int d{x}^{\prime }dx=\pi ϵ$

Фізична інтерпретація цього рівняння є така: одна частинка рухається у фазовому просторі (відстань, швидкість) вздовж контуру еліпса з параметрами $\alpha ,\beta ,\gamma$. Всі частинки з меншими бетатронними коливальними амплітудами будуть залишатись всередині цього еліпса. Бета функція є функцією траєкторії, а тому еліпс буде змінюватись з часом, але частинка все-одно залишатиметься на ньому. Таким чином опис ансамблю частинок, що формують пучок може бути зведений до опису єдиної частинки.

Див. також

Бета функція прискорювача

Емітанс пучка