Описане коло

Описане коло многокутника — коло, що містить всі вершини многокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін многокутника.

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить на точці перетину серединних перпендикулярів його сторін. Звідси випливає, що коли навколо n-кутника побудоване описане коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).

Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло.

Трикутник

Коло, описане довкола трикутника

• Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж тільки одне. Його центром буде точка перетину серединних перпендикулярів.

• У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного — поза трикутником, у прямокутного — на середині гіпотенузи.

• 
  Гострокутний
• 
  Тупокутний
• 
  Прямокутний

Позначаємо літерою О точку перетину серединних перпендикулярів до його сторін та проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Оскільки точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіусу ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаним навколо трикутника ABC.

• 3 4 кіл, описаних відносно серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника.
• Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами на серединах сторін даного трикутника. Ортоцентр трикутника — це точка перетину висот трикутника або їх продовжень.
• Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більше, ніж відстань від центра описаного кола до протилежної сторони.
• Радіус описаного кола можна знайти за формулами:

$R=\frac{abc}{4S}$

$R=\frac{a}{2\sin \alpha }$

$R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Де:

$a,b,c$ — сторони трикутника,

$\alpha$ — кут, що лежить навпроти сторони $a$,

$p$ — півпериметр трикутника.

$S$ — площа трикутника.

• Положення центра описаного кола.

Нехай ${𝐫}_A,{𝐫}_B,{𝐫}_C$ радіус-вектори вершин трикутника, ${𝐫}_O$ — радіус-вектор центра описаного кола. Тоді

${𝐫}_O={\alpha }_A{𝐫}_A+{\alpha }_B{𝐫}_B+{\alpha }_C{𝐫}_C$

де

${\alpha }_A=\frac{a^2}{8S^2}({𝐫}_A-{𝐫}_B,{𝐫}_A-{𝐫}_C),{\alpha }_B=\frac{b^2}{8S^2}({𝐫}_B-{𝐫}_A,{𝐫}_B-{𝐫}_C),{\alpha }_C=\frac{c^2}{8S^2}({𝐫}_C-{𝐫}_A,{𝐫}_C-{𝐫}_B)$

• Рівняння описаного кола.

Нехай${𝐫}_A=(x_A,y_A),{𝐫}_B=(x_B,y_B),{𝐫}_C=(x_C,y_C)$ координати вершин трикутника в певній декартовій системі координат на площині, ${𝐫}_O=(x_O,y_O)$ — координати центра описаного кола. Тоді

$x_O=\frac{1}{4S}\left|\begin{array}{ccc}{x}_A^2+y_A^2& y_A& 1\\ x_B^2+y_B^2& y_B& 1\\ x_C^2+y_C^2& y_C& 1\end{array}\right|y_O=-\frac{1}{4S}\left|\begin{array}{ccc}{x}_A^2+y_A^2& x_A& 1\\ x_B^2+y_B^2& x_B& 1\\ x_C^2+y_C^2& x_C& 1\end{array}\right|$

а рівняння описаного кола має вигляд

$\left|\begin{array}{cccc}{x}^2+y^2& x& y& 1\\ x_A^2+y_A^2& x_A& y_A& 1\\ x_B^2+y_B^2& x_B& y_B& 1\\ x_C^2+y_C^2& x_C& y_C& 1\end{array}\right|=0$

Для точок $(x,y)$, що лежать всередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею — позитивний.

• Теорема про тризубець: Якщо $W$ — точка перетину бісектриси кута $A$ з описаним колом, а $I$ — центр вписаного кола то $|WI|=|WB|=|WC|$.

• Формула Ейлера: Якщо $d$ — відстань між центрами вписаного і описаного кіл, а їхні радіуси дорівнюють $r$ і $R$ відповідно, то $d^2=R^2-2Rr$.

Чотирикутник

Малюнок до теореми Птолемея

Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник обов'язково є опуклим .

Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).

Радіус описаного кола правильного $n$-кутника з довжиною сторін $a$ дорівнює:

$R=\frac{a}{2\sin \frac{180^{\circ }}{n}}$

Можна описати коло навколо:

• будь-якого прямокутника (окремий випадок: квадрат)
• будь-якої рівнобедреної трапеції

• Теорема Птолемея: у чотирикутника, вписаного в коло, добуток довжин діагоналей дорівнює сумі добутків довжин пар протилежних сторін:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Многокутник

Якщо з відрізків скласти многокутник, то його площа буде максимальною, коли він вписаний.

Див. також

• Вписане коло
• Коло
• Трикутник
• Конциклічні точки

Література

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 53-54. — ISBN 5-94057-170-0
• Л. Е. Гендельштейн, А. П. Єршова, Наочний довідник з геометрії, Гімназія, 1997 — ISBN 966-562-080-0.

Посилання

• Описане коло (нім.)
• Анімація: описане коло трикутника