Оператор Дірака

Оператор Дірака — загальна назва диференціальних операторів, які є квадратними коренями деякого оператора другого порядку, найчастіше оператора Лапласа і його аналогів.

Тобто оператор $D$ є оператором Дірака для даного оператора другого порядку $\mathrm{\Delta }$, якщо

$D^2=\mathrm{\Delta }.$

У фізиці високих енергій ця вимога часто послаблюється: передбачається тільки, що головна частина $D^2$ збігається з $\mathrm{\Delta }$.

Приклад

• $D=-i\cdot {\partial }_x$ є оператором Дірака на дотичному розшаруванні над прямою.
• Для диференціальних форм на рімановому многовиді оператор Дірака можна визначити як

$D=\sum _i{e}_i\bullet {\mathrm{\nabla }}_{e_i},$

де $e_i$ — ортонормований репер у точці, $\mathrm{\nabla }$ — зв'язність, а $\bullet$ — множення Кліфорда. Його квадрат

$D^2=\sum _{i,j}{e}_i\bullet e_j\bullet \underset{e_i,e_j}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}$

називається лапласіаном Дірака; для функцій він збігається з оператором Лапласа — Бельтрамі, але він також визначений на формах усіх степенів.

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Книга